Сказуемое в этом предложении составное именное, но проблема в том, что́ следует признать его именной частью. На первый взгляд, мечта — подлежащее, сказуемое — (была) поступить. Аналогичное впечатление производит и предложение, в котором инфинитив заменен отглагольным существительным: Моя мечта была поступление в вуз. Однако сказуемые (?) была поступить, была поступление выглядят несколько странно. Кроме того, мы знаем, что именная часть сказуемого может иметь форму не только именительного, но и творительного падежа (ср.: Иванов был врач / Иванов был врачом). Если мы проверим, что в нашем предложении можно менять именительный падеж на творительный, то получим:

*Моя мечта была поступлением в вуз (1);

Моей мечтой было поступление в вуз (2);

Моей мечтой было поступить в вуз (3).

Очевидно, что вариант (1) неприемлем, в то время как (2) и (3) вполне приемлемы.

Таким образом, грамматическими признаками именной части сказуемого в нашем предложении обладает сущ. мечта.

Перед нами «предложение-перевертыш»: его смысловая структура находится в противоречии с его грамматической структурой. Однако в грамматике такая ситуация отнюдь не уникальна: нам же известны, например, конструкции, в которых субъект, который мы привыкли видеть в подлежащем, выражен косвенным дополнением: Комиссией произведен осмотр объекта.

Следовательно, подчеркиваем поступить как подлежащее, мечта — как сказуемое. Для наглядности можно обозначить нулевую связку традиционным в лингвистике обозначением нулевых элементов — значком пустого множества. Тогда школьники увидят, что в сказуемом два компонента. 

Доказательства см. выше. Подчеркиванием ничего доказать невозможно.

Стилистически нейтрально: бояться кого-чего (родительный падеж); в разговорной речи возможно: бояться кого (винительный падеж). Таким образом, нейтрально: боюсь твоей мамы, в непринужденной речи допустимо: боюсь твою маму.

Да, запятая поставлена правильно.

Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.

Спасибо!

Обособление оборота с предлогом в соответствии с факультативно. См. подробнее в «Справочнике по пунктуации».

Два названия должности нужно разделить запятыми (глава конфедерации, народный депутат). Но между названием должности и ученой степенью, действительно, ставить запятую не нужно, такие приложения неоднородны.

Никаких «новых правил 2009 года» не существует. Литературная норма русского языка была и остается: на Украину, с Украины – так следовало говорить и писать до 2009 года, так следует говорить и писать сейчас.

Словари русского языка фиксируют у слова что значение 'по какой причине, почему, зачем' (что ты не едешь?  что задумался?), но с пометой «разг.» (разговорное).