В названиях улиц, площадей, переулков, проспектов и пр. с большой буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (т. е. самих слов улица, площадь и т. п.), служебных слов, а также слов года, лет. Правильно: улица Левый Берег, улица Первооткрывателей Башкирской Нефти.
Корректно: по Первой улице.
Улица Окрестина в Минске — это улица, названная в честь Героя Советского Союза Бориса Окрестина. Поэтому верно: на улице Окрестина, на Окрестина.
Увы, предположение неверно. Названия улиц, начинающиеся с части Ново, принято писать слитно. Но в ряде случаев сохраняется традиционное (ничем, кроме традиций, не объяснимое) дефисное написание.
В обоих случаях оба слова в собственном названии улицы нужно писать с прописной буквы: Красный Путь.
Верно: я живу на улице Пушкина.
Корректно: ...дома, расположенного на улице Иванова.
