Запятая ставится.
Нет, слово убогий не мотивировано сочетанием у Бога, происхождение этого слова иное.
Действительно, слова убогий, бог, богатый, богатство являются этимологически родственными, они восходят к одной и той же праславянской основе *bogъ, имеющей соответствие в других индоевропейских языках. Но важно подчеркнуть, что религиозное значение у слова бог является вторичным; исходное значение праславянского *bogъ – 'наделяющий богатством, дающий благополучие'. От этой основы и были образованы слова богатый и убогий, при этом слово убогий образовано с помощью приставки у-, которая в древности означала движение в сторону, прочь, вон (т. е. в слове убогий у = не). Буквально убогий – 'не наделенный благополучием; лишенный богатства'.
Нет, кавычки не требуются.
Слова причухнуть нет в словарях русского литературного языка. Это означает, что употребление данного слова никак не регламентируется.
Между этими словами нет родственной связи. Слово кат "палач" пришло в русский язык в эпоху Петра Первого, заимствовано из польского языка, восходит к древневерхненемецкому Gatte – "помощник палача".
В "Проверке слова" есть словарь антонимов М. Р. Львова.
Пропущенного слова нет. Вредительство (действие) – производное от глагола вредительствовать.
Ставится (факультативно) интонационное тире.
Если у прилагательного нет зависимых слов, то правильно: строганое бревно.
