Исторически слово нежный, конечно, связано с нега, когда-то оно было образовано от этого существительного. Но в современном русском языке живые словообразовательные связи между этими словами утрачены, поэтому сейчас мы назовем прилагательное нежный непроизводным и выделим в нем корень нежн-.
Имя сказочного персонажа Мальчик с пальчик не обязательно писать с двумя дефисами. В академическом орфографическом словаре, размещенном на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН, варианты Мальчик с пальчик и Мальчик-с-пальчик даны как равноправные.
Пока что это слово не зафиксировано нормативными словарями современного русского языка, поэтому возможно его вариантное написание: слитное (селфхелп книга), которое в большей степени отвечает орфографическим тенденциям, или дефисное (селф-хелп книга), которое помогает вычленить в этом слове самостоятельные значимые части.
Вариант проповедовать о несколько устарел: согласно примерам из «Корпуса русского языка», он активно употреблялся до 30-х годов XX века, а сейчас практически не встречается.
Поэтому рекомендуем ориентироваться на аудиторию. Если это светский текст для неподготовленных читателей, то лучше переформулировать предложение.
Корректно: три контурные упаковки. При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре (а также от составных числительных, оканчивающихся на указанные цифры), определение, находящееся между числительным и существительным, в современном языке ставится, как правило, в форме именительного падежа множественного числа.
Статус начальной части противо... неоднозначен. Ее характеризуют как приставку или как первую часть сложных слов, см. ресурс «Проверка слова». А. Н. Тихонов в своем «Словообразовательном словаре русского языка» включил слово противогаз только в гнездо слова газ, определяя способ образования как приставочный.
Корректно без запятой. Здесь действует правило о невыделении сравнительных оборотов в том случае, если они тесно связаны со сказуемым, сравним пример: В прошлое мы смотрим будто сквозь хрустальную призму (см. «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, параграф 42.2).
«Русский орфографический словарь» РАН (М., 2012) фиксирует оба слова: межпозвонковый и межпозвоночный. Конечно, привычнее межпозвоночный (значение – 'расположенный между позвонками'). Но, если медики настаивают на варианте межпозвонковый, можно пойти им навстречу: ошибкой это не будет, в современном русском языке такое слово есть.
По общему правилу: Мак-Аллен.
Стоящий перед фамилией компонент Мак- в большинстве случаев присоединяется дефисом, однако из этого правила есть многочисленные исключения, обусловленные либо написанием в языке-источнике, либо сложившейся традицией употребления в русском языке; другими словами, написание в каждом случае индивидуально.
Употребляются варианты Гагра и Гагры (второй вариант отражен в названии известного фильма «Зимний вечер в Гаграх»). Но словарями русского языка зафиксировано: Гагра, такое же название употребляется в картографических изданиях Росреестра. Это склоняемое существительное: поехать в Гагру, отдыхать в Гагре, сказочная Гагра.
