Лучше всего: (школьная) олимпиада по истории.
По завершениИ – предлог со значением "после завершения".
Запятая ставится.
См. ответ на вопрос № 276154.
В слове тяжёлый уникальный (т. е. встречающийся только в этом слове и однокоренных словах) суффикс -ёл-(-ел-). Написание его с ё(е) можно считать исключением из общего правила о написании о под ударением в суффиксах прилагательных. Таким же исключением является суффикс -ёр-(-ер-): стажёр, дирижёр, ухажёр.
При союзе не только… но и сказуемое обычно согласуется с ближайшим из однородных подлежащих. Поэтому верно: Сегодня возможность выступить с докладом получил не только комитет по природным ресурсам, но и его оппоненты.
Запятая не ставится. Верно: до четырех таблеток, до 4 таблеток.
В приведенном отрывке нет оснований для постановки запятых.