Приводим рекомендации из рубрики "Письмовник" нашего портала:

На этот вопрос в справочной литературе можно найти противоположные ответы. В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано, что названия рек согласуются с родовым наименованием, и приведен пример между реками Обью и Енисеем. В то же время другие пособия указывают, что с географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: у реки Волги, но на реке Енисей.

На практике встречается как склонение, так и несклонение названий рек в подобных конструкциях, ср.: 

• Пространство между реками Доном и Непрядвой называлось Куликовым полем. С. Голицын. Сказания о земле Московской (1968-1988)
• Трудно было пробираться речными путями на Пясину, поэтому решили установить морскую связь между реками Енисей и Пясина. М. Белов. Мангазея (1969) 
• Пять тысяч лет назад такими «умными соседями» оказались жители двух речных долин — на Ниле (Египет) и между реками Тигр и Евфрат (Месопотамия). А. Алексеев. Из жизни древнего Египта // «Наука и жизнь», 2007

• Между реками Енисеем и Хатангой (в так называемом Енисей-Хатангском региональном прогибе) открыты газовые залежи, и специалисты прогнозируют наличие здесь нефти. Е. Сидорова. Притяжение Арктики // «Наука в России», 2012.

Таким образом, допустимы варианты, и окончательное решение в подобной ситуации — за автором (редактором) текста. Ошибки в любом случае не будет.

В подобных прилагательных обе части будут писаться с прописной буквы только в том случае, если прилагательное является первым словом в составном географическом и административно-территориальном названии, в названии исторического события, учреждения, памятника и т. п. В остальных случаях такие прилагательные пишутся строчными. Ср.: нью-йоркские улицы и Нью-Йоркский музей современного искусства, орехово-зуевские школьники и Орехово-Зуевский район Московской области.

Корректно написание без кавычек. 

Об употреблении кавычек в собственных наименованиях см. в «Письмовнике».

Полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина – результат многолетней работы Орфографической комиссии РАН, направленной на уточнение действующих правил русского правописания. Эта работа шла в 1990-е – начале 2000-х; предполагалось, что ее результатом станет утверждение нового свода правил, в котором регламентировалось бы написание новых слов, появившихся в русском языке после 1956 года (например, слов с первыми частями видео... медиа... интернет...), сняты некоторые противоречия свода 1956 года, устранены кое-какие неоправданные исключения, ликвидированы явно устаревшие написания, которые в 1956 году были вызваны идеологическими причинами (например, написание названий, связанных с религией).

Однако по причинам, не зависящим от лингвистов, этого не произошло. Официальное утверждение новой редакции правил не состоялось, прежде всего – из-за негативной реакции в обществе на некоторые первоначально предлагавшиеся изменения. Во многом эта реакция была спровоцирована недобросовестной работой журналистов: СМИ писали о будто бы готовящейся «реформе языка», «узаконении безграмотности» и т. п., хотя никаких радикальных изменений лингвисты не предлагали. В результате подготовленный Орфографической комиссией текст правил русского правописания лег в основу вышедшего через несколько лет полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации». Он вышел именно на правах справочника (не общеобязательного свода), дополняющего и уточняющего действующие «Правила русской орфографии и пунктуации» 1956 года в соответствии с современной практикой письма.

Официальный статус общеобязательных правил правописания сохраняется за сводом 1956 года (который в некоторых случаях противоречит современной письменной практике, такой вот парадокс).