Правильно: мини-ферма, но мини молочная ферма. По правилам недопустимо слитное или дефисное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть представляет собой сочетание слов. В этом случае необходимо раздельное написание.
Словарями такое слово не зафиксировано, однако потенциально оно вполне возможно. Ср.: азотсодержащий, известьсодержащий и проч.
В справочнике приведен только пример, в котором за указательным местоимением не следует зависимой от него придаточной части (да она и не может следовать в таких случаях): Это кабинет? Это спальня? (Ч.). Наблюдения над практикой письма показывают, что в случаях, подобных приведенному Вами, тире обычно ставится, однако ни на какой справочник здесь сослаться невозможно. При оценивании проверочных работ такие случаи целесообразно выводить из подсчета ошибок.
В современном русском литературном языке такое слово отсутствует.
Да, это уточняющее обстоятельство, и его нужно обособить.
Нет, эти сочетания не заключаются в кавычки.
Корректно: Ликуй, Москва, твой день рождения!
См. в «Письмовнике». Общеупотребительный вариант: день рождения.
Верно: в День города.
Можно так: продлить командировку на один день.
