Рекомендуется: во вдохновение. Предлог во «последовательно выступает перед формами слов, начинающимися сочетаниями „в, ф + согласная“» (Еськова Н. А. Словарь трудностей русского языка. Ударение. Грамматические формы. М., 2014. С. 62).

Рекомендуется: во флешмобе. Предлог во «последовательно выступает перед формами слов, начинающимися сочетаниями „в, ф + согласная“» (Еськова Н. А. Словарь трудностей русского языка. Ударение. Грамматические формы. М., 2014. С. 62).

Верно: Я не даю своего добровольного согласия на участие... Для написания частицы ни нет оснований. Обратите внимание, что если дополнение при глаголе с отрицанием выражено отвлеченным существительным, то оно ставится в форме родительного падежа.

В счетной форме (т. е. в конструкциях с количественным значением) правильно: каратов и карат: 5 каратов и 5 карат.

Однако в рассматриваемом примере верно: 2,11 карата. Существительным управляет дробная часть: одиннадцать сотых карата.

Существительные употребляются в форме множественного числа при наличии однородных определений, например: в X и XI столетиях. В данном случае однородных определений нет, поэтому существительное употребляется в единственном числе: в конце X – начале XI столетия.

Словарная фиксация менялась. В 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН было дано дефисное написание (и это отражено в наших старых ответах), однако впоследствии академический орфографический словарь изменил написание на слитное. Современная орфографическая норма: шоурум.

По правилу и в соответствии со словарной рекомендацией нужно писать две н. Однако, как мы уже не раз писали, выбор н и нн в кратких отглагольных формах представляет собой проблему. Она сейчас изучается лингвистами. 

Словари сообщают, что существительное виноград употребляется только в форме единственного числа, и, следовательно, она используется не только тогда, когда обозначается кисть с множеством ягод, но и в случаях, когда передается значение множественности разных кистей.

«Словарь русских личных имен» А. В. Суперанской указывает: от имен, оканчивающихся на ударные гласные, отчества образуются путем присоединения  суффиксов -евич, -евна к полной форме имени. Отчества от имени Муса́ – Мусаевич, Мусаевна.

Следует использовать форму множественного числа. Слово нобелевский в данном случае пишется с маленькой буквы: Интересно, что не только Эйнштейн, но большая часть нобелевских лауреатов, согласно исследованиям, были связаны с искусством, а именно с музыкой.