Допустимы оба варианта. В толковых словарях С. И. Ожегова (а также С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой) разрешается управление памятка кого, в «Большом толковом словаре» под ред. С. А. Кузнецова – памятка кому. В справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» зафиксированы данные варианты и третий возможный тип управления – памятка для кого.

Дело не в словообразовании, а в графике. Все слова такого рода являются заимствованиями, и при "переводе" их на кириллическое написание используется принцип транслитирации, то есть побуквенной передачи слов одной графической системы средствами другой системы. Ср.: паранойя — греч. παράνοια; маракуйя — тупи mara kuya и т. п. Да, написание таких слов нарушает слоговой принцип графики, согласно которому гласные и согласные буквы пишутся и читаются с учетом соседних букв. Иначе говоря, в основе этого принципа лежит графический слог как единица чтения и письма: поэтому, например, мы пишем сарая (Р. п. ед. ч.), хотя в этом слове корень сарай (совпадающий с формой Им. п. ед. ч. существительного) и окончание -а. 

Написания типа паранойя, фойе, йогурт нарушают слоговой принцип графики, однако позволяют подчеркнуть иноязычную природу подобных слов. 

Поскольку смысловой акцент в этом предложении как раз на прилагательных и ни о чем другом, кроме этого качества дней, в предложении не сообщается, они действительно являются сказуемым (точнее — однородными именными частями составного именного сказуемого). Не случайно при переводе предложения в план прошедшего времени мы получим: Дни были солнечные, тихие — стандартный вид составного именного сказуемого.

Во втором предложении смысловой акцент такой же, разница лишь в том, что вместо формальной связки (были, будут — формы глагола быть) в нем использована полузнаменательная связка — глагол в обедненном значении стояли (согласитесь, что предполагать, будто дни «стояли» в буквальном смысле слова, не приходится). Соответственно, и здесь составное именное сказуемое стояли тихие, солнечные, разница только в типе вспомогательного глагола-связки.

Не следует думать, будто прилагательное автоматически является определением. Сказуемое — вторая из двух основных функций прилагательного.

Деепричастие может быть употреблено без пояснения, если контекст ясен и не вызывает двоякого толкования. Однако в Вашем примере два деепричастия различаются синтаксическими особенностями: изучая предполагает беспредложное дополнение, а погружаясь — предложное. Оставить первое деепричастие без дополнения можно лишь в случае совпадающего управления, то есть совпадающих форм зависимых слов; ср.: изучая и глубоко постигая математику. 

В этом словосочетании управление. Его можно считать слабым управлением, если исходить из разграничения сильного и слабого управления. В последние десятилетия такую связь иногда называют именным (или падежным) примыканием, имея в виду то, что форма зависимого компонента никак не продиктована главным (поскольку и смысловой вопрос от главного компонента — куда? — не является падежным).

В подобных случаях винительный падеж существительного указывает на определенный предмет, а родительный – на предмет неопределенный. Ср.: жду поезд Саратов – Москва (определенный, прибывающий в такое-то время по расписанию) – жду поезда (одного из поездов); чаще существительные конкретные при глаголе ждать и других подобных употребляются в форме винительного падежа.

Как Вы видите, рекомендации не строгие, возможны оба варианта управления.

См. ГОСТ Р 6.30-2003: «Если письмо имеет приложение, не названное в тексте, то указывают его наименование, число листов и число экземпляров; при наличии нескольких приложений их нумеруют, например: Приложение: 1. Положение об Управлении регионального кредитования на 5 л. в 1 экз. 2. Правила подготовки и оформления документов Управления регионального кредитования на 7 л. в 2 экз.».

Запятые в обоих случаях не нужны.

Спасибо за интересное дополнение!