По правилам русской грамматики мужская фамилия Шлоссер должна склоняется, женская — нет. Приведем несколько примеров. 

...Он как бы ни был утомлен, ложась спать, читал некоторое время в постели какой‑нибудь из томов Шлоссера (Н. О. Лосский. Воспоминания: жизнь и философский путь).

А «источником» и «пособием» служила мне «История древнего мира» Шлоссера (в русском переводе под редакцией Н. Г. Чернышевского), в те годы одна из моих любимых книг, которую я много раз перечитывал (Д. Н. Овсянико-Куликовский. Воспоминания).

См. перевод статьи Франсуа Шлоссера «Буш: головокружение от могущества США» из журнала «Nouvelobs» в газ. (из журн. «Проблемы Дальнего Востока», 2002 г.).

Поначалу в Штутгарте главной темой был приезд на соревнования бразильца Густаво Куэртена и его бабушки Ольги Шлоссер, имеющей немецкие корни (из газ. 2002 г.).

Верен первый вариант: ...лица, на которое возложены обязанности.

Вы правы, часть предложения может быть достроена именно таким образом. Союз и здесь присоединительный (= «причём»).

Если у Вас есть конкретное предложение, можете написать нам. Однако рискнем напомнить басню И. А. Крылова "Щука и Кот": 

    Беда, коль пироги начнет печи сапожник,
    А сапоги тачать пирожник,
    И дело не пойдет на лад.
    Да и примечено стократ,
    Что кто за ремесло чужое браться любит,
    Тот завсегда других упрямей и вздорней:
    Он лучше дело всё погубит,
    И рад скорей
    Посмешищем стать света,
    Чем у честных и знающих людей
    Спросить иль выслушать разумного совета.

Заглавная и прописная буква – одно и то же (большая буква). Маленькая буква называется строчной.

Написание вашим с прописной или строчной буквы зависит от того, к кому Вы обращаетесь. С прописной буквы местоимение пишется только при обращении к одному человеку (в личных письмах, официальных документах, анкетах и др.), при обращении к нескольким лицам правильно написание со строчной.

Слово лицо склоняется как неодушевленное существительное. Верно: ...немедленно извещать своего непосредственного руководителя или иное уполномоченное должностное лицо работодателя.

Лучше всего ударение поставить на том же слоге, что и в производящем имени. Это типичный способ указать на словообразовательные связи малоупотребительных или окказиональных слов.

Предпочтителен родительный падеж: не освоив чего-то.

Согласны с Вами, предложение построено неудачно. 

Словостосковавшись (как и глагол стосковаться по кому-чему, от которого образована эта деепричастная форма) в русском языке есть.