В данном случае "что" - не союз и не союзное слово. Верно: знал, где что.

Правильно - склонять.

Органы управления образованием = органы, управляющие образованием. Органы управления образования = органы, входящие в состав такого органа, как управление образования.

Корректно сочетание: по его окончании. По окончании не предлог, а сочетание предлога с существительным. Предлог по употребляется с предложным падежом существительного при указании действия, события, после которого что-нибудь совершается.

Слово кофе пришло к нам во времена Петра I вместе с самим напитком. Как это часто бывает с новыми словами, у него было поначалу несколько вариантов написания и произношения, и со временем наиболее употребительными стали формы кофий и кофей, возникшие под влиянием слова чай (выпить кофея как выпить чая). Эти формы, разумеется, были мужского рода (кстати, в русском языке и сейчас есть слово кофеёк мужского рода). Под их влиянием и слово кофе приобрело мужской род.

Другое дело, что в отличие от слов кофий и кофей существительное кофе несклоняемое. Вы правы: несклоняемые неодушевленные существительные иноязычного происхождения, оканчивающиеся на гласную, в русском языке в подавляющем большинстве случаев относятся к среднему роду, исключения единичны. Поэтому кофе и стремится стать существительным среднего рода. И это нормальный языковой процесс, в истории русского языка есть много примеров того, как слова меняли родовую принадлежность, достаточно назвать хотя бы слово метро, которое было мужского рода (под влиянием существительного метрополитен), а стало среднего.

Но слову кофе «не повезло»: оно попало в тот небольшой список слов (кофе, договор, звонит...), к которым приковано общественное внимание и изменение нормы в которых воспринимается носителями русского языка как признак его «деградации», «порчи» и т. д. Такое негативное отношение образованных носителей языка к этому варианту влияет на его кодификацию: варианты черный кофе и черное кофе пока не признаются равноправными. В словарях мужской род слова кофе дан как строгая литературная норма, а средний род – как допустимое разговорное употребление.

Верен первый вариант.

Глагол обязывать может использоваться с инфинитивом (Это обязывает меня участвовать в состязании) или с существительным с предлогом к (Это обязывает к участию в состязании). Если ни один из этих вариантов не подходит по смыслу, то нужно использовать другой глагол.

Запятая нужна. Часть его не удалось записать на компьютер назначения представляет собой безличное предложение, в нем нет подлежащего.   

Для использования прописной буквы в этом названии оснований нет. Заключить его в кавычки (как сочетание, употребленное в новом терминологическом значении) можно. Кавычки будут уместны в статье для широкого читателя, еще незнакомого с этим явлением. В материалах «для посвященных» кавычки уже избыточны.