Этимология названия усадьбы (объединены два топонима), его грамматические особенности (топонимы различаются по роду) и традиции употребления, отраженные в печатных источниках, предопределяют склонение первой части: жить в Пехре-Яковлевском, сведения о Пехре-Яковлевском, дорога на Пехру-Яковлевское. Рекомендуем прочитать статью «Как склонять по-русски составные топонимы».

Правило можно сформулировать так.

Если обобщающее слово стоит перед однородными членами, а после них предложение продолжается, то после обобщающего слова ставится двоеточие, а после однородных членов – тире.

Подробнее о знаках препинания в предложениях с однородными членами и обобщающим словом можно прочитать в «Учебнике Грамоты».

Правильно: об открытии. Слова на -ий, -ия, -ие склоняются особым обрзом. В пр. падеже в них пишется окончание -и: об акации, о лектории, об открытии. Подробнее о склонении таких существительных можно прочитать в учебнике Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников».

Правильно: надевать брюки. О глаголах надеть – одеть можно прочитать во многих изданиях (в словарях трудностей, в словарях паронимов, в научно-популярных книгах, написанных лингвистами). См., например: Королёва М. А. Говорим по-русски с Мариной Королёвой. М., 2003. Об этих словах написано и в «Словаре трудностей» нашего портала.

Возможны оба варианта.
Форма единственного числа сказуемого (задействовано) будет указывать на пассивность подлежащего и совместность действия называемых лиц. Форма множественного числа (задействованы) укажет на раздельное совершение действия и активность действующих лиц.
Подробнее о единственном и множественном числе сказуемого можно прочитать в «Письмовнике».

1. Вы правы, задание некорректно составлено.  Слово осень можно разделить на слоги так, что первый слог будет состоять из одной буквы.

2. Это также ошибка. Двух гласных в слоге быть не должно. Обо всем этом можно прочитать в обычном школьном учебнике, и на учебник же сослаться.

Каждое из частей этого сложного предложения представляет собой так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен. Часть Вы в ресурсе трудно прочитать с паузой после вы, а потому тире здесь неуместно.

Слово можно относят к особому лексико-грамматическому классу – предикативам. Это слова со значениями долженствования, необходимости, возможности, выступающие в функции главного члена односоставного предложения. Предикативы могут рассматриваться как особый класс наречий. Подробнее о них можно прочитать в учебнике «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников» или в «Русской грамматике».

Основные правила согласования сказуемого со счетно-именным оборотом можно прочитать в «Письмовнике». В Вашем примере возможны обе формы сказуемого, выбор будет зависеть от смысла. Форма ед. числа уместна, если 500 баллов будет начислено одному лицу или объекту. Форму мн. числа нужно выбрать, если баллы предназначены нескольким людям или объектам.

В прямой речи персонажа вполне могут заключаться в кавычки слова, сказанные иронически. Вообще о выделении кавычками слов в особом значении можно прочитать в параграфе 58.1 Справочника Д. Э. Розенталя и в параграфе 151 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).