Все предложение построено некорректно: неправильно использован деепричастный оборот (из фразы следует, что "мечты должны листать страницы дней", а это не имеет смысла). Предложение необходимо переформулировать.

В приведенном примере правильно без мягкого знака (можно поставить вопрос что сделает?). В неопределенной форме глагола корректно с мягким знаком: что сделать? – встретиться (должна встретиться).

Запятую нужно перенести. Она должна стоять после сочетания в части — для обособления причастного оборота. Обратите внимание: мероприятие можно провести, но вряд ли его можно выполнить. 

Корректно написание со строчной буквы без кавычек: струна ми. Слово ми здесь используется в переносном значении, которое не должно отмечаться ни прописной буквой, ни кавычками. 

В разговорной речи допустим второй вариант. В тех случаях, когда должны соблюдаться нормы книжных стилей, перед названием нужно добавить родовое слово: на портале  «Грамота.ру».

Нужна точка с запятой, при этом все элементы списка должны начинаться со строчной буквы (за исключением тех случаев, когда элемент списка начинается с имени собственного).

Правила, гласящего, что краткое прилагательное в роли сказуемого непременно должно писаться раздельно с не, не существует (например: ответ неясен, суп нехорош). Корректно: Ты сильно неправа.

В орфографическом словаре есть рентгенотерапия и рентгенодиагностика (с фиксируемым вариантом рентген-диагностика). По аналогии слитно и с буквой О должно писаться слово рентгенохирургия (как вариант - рентген-хирургия).

Должно быть раздельное написание. Отрицание: ни при чём.

Что касается слитного написания в «Большом толковом словаре» – мы передадим Ваш вопрос главному редактору словаря С. А. Кузнецову.

Вариант с тире корректен. Обратите внимание, что это должно быть именно тире (а не дефис) с пробелами: Здесь будет интересно всем – как детям, так и взрослым.