Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

Противоречия нет. Действительно, названия, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, при употреблении без родового слова можно склонять (живу в Строгине) и не склонять (живу в Строгино). Но склоняемый и несклоняемый варианты не равноправны. Первый соответствует строгой литературной норме и рекомендуется, например, для речи дикторов. Второй носит характер допустимого (т. е. не ошибка, но и не образцовое употребление).

Что касается именно названия Пушкино, то здесь есть еще один довод в пользу несклонения: если склонять, то в косвенных падежах потеряется различие между Пушкин и Пушкино. Этим может быть вызвано желание оставить название в исходной форме. Идеально здесь – сказать или написать в городе Пушкино.

Интересный вопрос. В справочниках такого действительно нет. Или почти нет. Давайте рассуждать. Есть правило: после вопросительного или восклицательного знака ставятся не три точки (обычный вид многоточия), а две. Правило основано на том, что первая точка стоит под одним из названных знаков. Значит, при сочетании трех знаков надо оставить только одну точку: ?!. Первая и вторая точки стоят под вопросительным и восклицательным знаками. И еще один аргумент в пользу такого сочетания: в Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина (М., 2006), в предметном указателе к разделу «Пунктуация», сочетание знаков ​​​​​​​?!. указано в ряду с ​​​​​​​?.. и ​​​​​​​!.., хотя в самом правиле и в примерах к нему оно не приводится.

Мы передадим Ваше замечание главному редактору словаря Сергею Александровичу Кузнецову.

Ваш корректор прав, именно так и надо писать эти слова: хип-хоп-вечеринка, хип-хоп-музыка. См. фиксацию подобных слов в Искать на Грамоте.

Ваш вопрос мы передадим профессору Владимиру Владимировичу Лопатину.

Байка – короткий забавный рассказ анекдотического или поучительного характера; побасёнка. // Вымысел, выдумка, небылица.

Именно слово байка указывает на то, что фраза ставит под сомнение сжигание.

Полагаем, что нет оснований для отнесения наречия бесслышно к стилистически окрашенной лексике.