Про "тюбинг", к сожалению, сказать ничего не можем – нужно обратиться к специалистам по этому виду спорта. Слово "ватрушка" как название спортивного снаряда желательно писать в кавычках.

Если имеются в виду индивидуальные названия спортивных сооружений, то в них первое слово должно быть написано с прописной буквы, ср.: ледовая арена и Малая ледовая арена для хоккея с шайбой.

Кубок пишется с прописной как первое слово названий спортивных наград, соревнований: Кубок Дэвиса, Кубок России по футболу. Ср.: Межконтитентальный кубок (не первое слово названия), пить победное шампанское из кубка (здесь кубок в знач. 'сосуд').

Сочетание школа третьего возраста можно использовать как описательный оборот, называющий тип организации (ср: музыкальная школа, спортивная школа), а можно как название. В первом случае все буквы строчные, во втором нужно писать с прописной слово Школа. 

Кавычки не нужны. Значение глагола бить 'наносить поражение, побеждать; одерживать верх над кем-либо в чём-либо (обычно во время военных действий, спортивных состязаний, игр и т. п.)' зафиксировано словарями русского языка, оно не является необычным, непривычным и не требует постановки кавычек.

Есть словарная фиксация в последнем издании «Русского орфографического словаря»:

фейр-плей, нескл., ж. (спорт.)

Это сочетание употребляется не только в буквальном смысле «честная игра», но и в более широком значении, которое можно передать приблизительно так: соблюдение спортивных принципов; поведение, основанное на честности и открытости.

Запятая перед скобками никогда не ставится. Верная пунктуация: На основании Единого календарного плана межрегиональных, всероссийских и международных физкультурных мероприятий и спортивных мероприятий на 2019 год, утвержденного приказом Минспорта России от 27 декабря 2018 г. № 1090 (далее – ЕКП), Положения о соревнованиях (№ в ЕКП 36448), приказываю...

Орфографически верно: XIII Зимний (зимний) Суриковский фестиваль.

С прописной буквы пишутся имена прилагательные на -ский, входящие в состав наименований — имен собственных, в том числе имеющие значение «имени того-то», «памяти того-то». Так же пишутся названия политических, культурных, спортивных и других мероприятий, имеющих общегосударственное или международное значение.

Да, кавычки нужны: в «Лужниках». Так называемые условные названия объектов, например спортивных сооружений, стадионов («Лужники», «Локомотив»), нужно заключать в кавычки в текстах, где они упоминаются. Это, в частности, позволяет разграничивать условные названия (стадиона) и реальные названия (деревня Лужники).

Названия спортивных обществ, футбольных, хоккейных и др. клубов заключаются в кавычки (исключая аббревиатурные названия: ЦСКА, СКА): «Локомотив», «Зенит», «Спартак» и др. Поэтому кавычки нужны: матч «Зенит» – «Спартак». Но если эти названия употребляются не в тексте, а, например, в таблице, схеме, перечне и т. п., кавычки могут опускаться.