Грамматически верно: после пребывания в госпитале, сопровождавшегося... Однако предложение построено неудачно, его нужно перефразировать.
Пишутся через дефис сложные слова с первой частью – буквенной или звуковой аббревиатурой. См. полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» («Эксмо», 2006).
Верно: об-жиг-а-ть. Это две разные морфемы. Суффикс -ть служит для образования неопределенной формы глагола (инфинитива), ср. в других словах: люб-и-ть, прыг-ну-ть, гул-я-ть. Суффикс -а- служит для образования глагольной основы обжига-, которая используется и в других формах глагола: об-жиг-а-л-а, об-жиг-а-вш-ий.
Потеплее, скорее, чаще – формы сравнительной степени наречий тепло, скоро, часто. Значение и способы образования форм сравнительной степени у наречий на -о, -е полностью совпадают со значением и способами образования сравнительной степени качественных прилагательных. О формах сравнительной степени наречий см. в «Русской грамматике» blank>здесь, о сравнительной степени прилагательных – blank>здесь.
Пединститут пишется через И. Подынститут – правовой термин, например: институт брака и подынститут заключения брака.
По правилам - нужно склонять.
Современная орфографическая норма: естественно-научный. См. также ответ на вопрос № 274082.