Эти слова пишутся с двумя Н при наличии зависимых слов: печенный в духовке пирог, жаренный в масле карась.

Правильно: носиться как с писаной торбой. Полный вариант фразеологизма: носиться как дурак (дурень) с писаной торбой (предположительно, из украинского языка).

Слово шелом, которое отмечено в русских говорах в значениях «навес», «конек» и др., восходит к др.-рус. слову шеломъ «шлем», как Вы справедливо написали, с полногласием.
Как и ст.-сл. шлѣмъ (с тем же значением «шлем», но с неполногласием), заимствованное в русский литературный язык, оно, в свою очередь, восходит к праслав. *šelmъ, которое было заимствовано из др.-герм. *helmaz первоначально в виде *xelmъ. Еще до развития полногласия в этом слове начальный твердый заднеязычный *х перешел в мягкий *š́ в
результате праславянского фонетического изменения, известного как первая палатализация, что, видимо, было вызвано сугубой твердостью (сильной веляризацией) др.-рус. *l (=[ɫ]). Накануне возникновения полногласия в древнерусском языке происходило еще одно фонетическое изменение: *el в положении между твердыми согласными переходил в *ol. Так, псл. *melko давало в др.-рус. сначала *molko, из которого позднее в процессе развития полногласия появлялось др.-рус. и совр. рус. молоко (ср. псл. *xoldъ, *gold, *golva > холод, голод, голова и т. п.). В слове же *š́elmъ изменению *el > *ol мешала мягкость предшествующего /š́/, в то время как развитию вставного /о/ после она не
мешала. Отсюда и получилось др.-рус. шеломъ, а не шоломъ: псл. *xelmъ > *š́elmъ > шеломъ. Форма с о поcле ш – шолом – также могла появиться в говорах русского языка, но это происходило позднее и было связано уже с другим изменением – переходом /е/ в /о/ перед твердыми согласными.

В названиях мемориальных сооружений слово слава пишется с прописной буквы: Аллея Славы, Долина Славы, Курган Славы. Доска славы мемориальным сооружением не является, слово слава следует писать со строчной буквы.

В Словаре русских народных говоров (т. 14, с. 72–73) зафиксировано существительное козонок (козанок), первое значение которого — «сустав пальца, в особенности когда рука сжата в кулак». 

1. Верно: привести в соответствие чему-либо и (согласно рекомендациям ряда справочников) с чем-либо.

2. Существительные мужского рода – названия рыб (лосось, осетр, лещ, карась и т. д.), как правило, употребляются как одушевленные существительные.

Да, у этого топонима склоняется только первая часть: Розу Хутор, на Розе Хутор и т. п. Дело в том, что в наименованиях типа Сергиев Посад, Матвеев Курган абсолютно иные грамматические отношения между частями: существительное и определяющее его прилагательное. 

Словарной фиксации нет. Но по аналогии с другими названиями польских городов со второй частью Гура, зафиксированными в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко, можно рекомендовать дефисное написание и несклонение первой части. Ср.:

Словарь имён собственных