Вполне можно было бы ожидать появления этого слова в словарях из серии «Новое в русской лексике». Не думаем, что есть какие-то особые причины невключения в словари именно этого слова. Просто новых слов много, а людей, которые составляют словари, мало.

В словарях русского языка это слово не представлено. Тем не менее в произведениях Ф. М. Достоевского прилагательное сейчашний встречается, можно увидеть его и в текстах других авторов. Обратили на себя внимание и случаи употребления прилагательного современными ораторами (в самом широком смысле этого слова).

В указанном случае запятая перед чтобы нужна.

Запятая перед чтобы не ставится, например, если перед этим союзом есть отрицательная частица: Он пришел сюда не чтобы грустить. Также запятая не нужна, если имеется союз и: Он пришел сюда и чтобы увидеть этот пейзаж еще раз.

Слово вживую имеет разговорный оттенок, однако в его значении нет никакой негативной оценки: 1. Лично, непосредственно (не в записи, без фонограммы). Услышать рок-ансамбль в. Петь в. (о певце). 2. Наглядно, своими глазами. Увидеть в. знаменитого футболиста. Оно может быть использовано как антоним слова онлайн. 

Это задание (если оно сформулировано именно так) некорректно и невыполнимо. Можно привести одно однокоренное слово – берложный. Возможно, авторы задания ожидают увидеть в качестве ответа слова логово и пр., но берлога и логово в современном русском языке не являются однокоренными словами (да и родство их небесспорно).

Да, слово ковер объясняют как древнее заимствование из тюркских языков, а английское cover восходит через французское посредство к латинскому языку. Словарь Фасмера прямо указывает: «Древнерусские свидетельства исключают заимствование из англ. cover». Как бы ни было соблазнительно увидеть родство этих слов, его нет.

Все верно, в слове уточка корень уточ- и суффикс -к-. Все дело в том, что в слове уточка появляется беглая гласная, которой нет в слове утка в форме именительного падежа ед. числа, но которую можно увидеть в форме родительного падежа мн. числа: (нет) уток.

В сочетании самый главный можно увидеть лексическую избыточность (главный — это уже самый важный, основной). Тем не менее сочетание это не ошибочно, оно широко используется и в живой речи, и в художественной литературе (как в классических, так и современных текстах). Слово самый здесь добавляет экспрессии, так что оно не лишнее.

Действительно, слово озвучить широко употребляется сейчас как синоним слов 'огласить, объявить, обнародовать'. Такого значения у этого глагола раньше не было, оно появилось недавно, буквально на наших глазах. Степень распространения подобного употребления так значительна, что вряд ли можно говорить о его запрете как ненормативного – скорее, следует ожидать фиксации нового значения словарями.