О падеже:  нужен творительный падеж (музеем). Слова заведующий, управляющий, командующий и т. п., по своему происхождению являющиеся причастиями, управляют творительным падежом.

Что касается рода, то мужской род уместен в строгой деловой речи (в приказе: назначить заведующим музеем Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи верно: заведующая музеем.

По сравнению с тем временем, когда В. И. Даль работал над словарем (вторая половина XIX века), – конечно, изменились. Тогда нормативным было написание с двумя Н, но вот уже более полувека единственно правильным является написание с одной Н: ветреный человек. По словарю Даля нельзя проверять орфографию современного русского языка.

Форма мужского рода предпочтительна только в строгом деловом стиле, в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу. Например, в приказе: назначить заведующим лабораторией Ольгу Иванову. В обиходной письменной и тем более устной речи предпочтительна форма женского рода: Ольга Иванова – заведующая лабораторией.

Форма мужского рода предпочтительна в строгом деловом стиле, в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу. Например, в приказе: заведующим детским садом назначить Иванову. В обиходной письменной и тем более устной речи предпочтительна форма женского рода: заведующая детским садом Иванова.

Оба варианта корректны. 

заявление

Управление в русском языке

ЗАЯВЛЕНИЕ [просьба о чем-л., изложенная письменно в официальной форме] о чём / на что. Рагозин написал заявление в две строки о том, чтобы его перевели на военную работу (Фед.); Подать заявление на развод (влияние глагола подать, ср. разг. подать на развод).

Фрагмент уместно оформить без использования прямой речи, поскольку в нем важно передать общий смысл слов, а не дословно процитировать кого-либо. При этом нужно выделить запятыми придаточное предложение: На вопрос, может ли вода на Земле полностью высохнуть, учёные отвечали, что это возможно и что такой процесс займёт 24 миллиарда лет.

Это тот самый случай. Тесно связанным со сказуемым может быть не только одиночное деепричастие, но и деепричастный оборот, составляющий смысловой центр высказывания. Сравним приведенные в примечании 1 к параграфу 20.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя примеры типа Жили Артамоновы ни с кем не знакомясь (М.Г.).

Пока что это слово не зафиксировано нормативными словарями, так что говорить о норме ударения в нем не приходится. Однако нам представляется, что в речи преобладает вариант в во́рде как нейтральный, тогда как вариант в ворде́ стилистически маркирован (используется в профессиональной среде или в текстах подчеркнуто разговорного стиля).