Правило гласит:

Употребление буквы ё может быть последовательным и выборочным.

Последовательное употребление буквы ё обязательно в следующих разновидностях печатных текстов:

а) в текстах с последовательно поставленными знаками ударения ;

б) в книгах, адресованных детям младшего возраста;

в) в учебных текстах для школьников младших классов и иностранцев, изучающих русский язык.

В обычных печатных текстах буква ё употребляется выборочно. Рекомендуется употреблять ее в следующих случаях.

1. Для предупреждения неправильного опознания слова, напр.: всё, нёбо, лётом, совершённый (в отличие соответственно от слов все, небо, летом, совершенный), в том числе для указания на место ударения в слове, напр.: вёдро, узнаём (в отличие от ведро́, узна́ем).

2. Для указания правильного произношения слова – либо редкого, недостаточно хорошо известного, либо имеющего распространенное неправильное произношение, напр.: гёзы, сёрфинг, флёр, твёрже, щёлочка, в том числе для указания правильного ударения, напр.: побасёнка, приведённый, унесённый, осуждённый, новорождённый, филёр.

3. В собственных именах – фамилиях, географических названиях, напр.: Конёнков, Неёлова, Катрин Денёв, Шрёдингер, Дежнёв, Кошелёв, Чебышёв, Вёшенская, Олёкма.

Действительно, в § 19 «Правил русской орфографии и пунктуации» (1956) правило изложено именно в таком виде:

«Суффикс -ичк- пишется в существительных женского рода, образованных от слов с суффиксом -иц-, например: лестница – лестничка, пуговица – пуговичка, ножницы – ножнички» (См.:https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pravila-russkoj-orfografii-i-punktuacii/neudaryaemye-glasnye-v-suffiksah).

Длительное время орфографические справочники и учебные пособия по русскому языку ориентировались только на свод правил 1956 г., поэтому правило в них и появлялось. Однако даже примеры, иллюстрирующее правило в своде, наводят на мысль, что формулировка является неточной: например, в списке есть слово ножницы, не имеющее формы ед. числа, а следовательно, и категории рода. Тем не менее правило достаточно хорошо работало, поскольку большая часть слов с -ичк- действительно относится к женскому роду.

Более корректная формулировка правила, касающегося написания –ичк-, содержится в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» (под ред. В. В. Лопатина), представляющего собой дополненную редакцию действующих «Правил русской орфографии и пунктуации» (1956):

Формулировка не содержит никаких указаний на род производящего слова: написание -ичк- предполагает наличие -иц- или -ик- в производящей основе.

Если мне кажется употребляется с последующим союзом что (как в примере из стихотворения Расула Гамзатова в переводе Н. Гребнева), то это главная часть сложноподчиненного предложения, а союз что открывает придаточную часть. Если же при мне кажется нет придаточной части с союзом что, как во втором вашем примере, то это вводное предложение.

В словарях русского языка название этого растения не зафиксировано, в «Русском орфографическом словаре» Российской академии наук (М., 2012) закреплена только первая часть: саган, -а (растение). Чтобы ответить на Ваш вопрос, мы обратились за консультацией к проф. Иркутского государственного университета Л. И. Горбуновой, которая для нас собрала информацию об этом интересном слове.

Буряты считают, что это название бурятское, хотя есть версия, что оно могло попасть в бурятский язык из тибетского. Каковы бы ни были его корни, в русский оно вошло через бурятский.

Буквальный перевод названия – 'белое крыло'. Первая часть означает 'белый'. Такой же корень есть в широко распространенном и активно используемом в Бурятии слове Сагалган. Это национальный праздник Белого месяца. Третий звук в слове саган в бурятском языке звонкий фрикативный (как в форме Господи), по-русски он передается буквой г. Второй звук а – долгий, у бурят он обозначается удвоенной буквой а, но в русской орфографии эта долгота не отражается, пишется одинарная а.

Вторая часть названия означает 'крыло'. В русском языке ее передают как дайля или дали. Однако буряты утверждают, что в их языке нет звука й и ближе к их произношению второй вариант – дали, с ударением на втором слоге.

Бурятские слова подобной структуры в русском языке кодифицируются и в дефисном написании, и в слитном. Например, в словаре С. А. Гурулева «Географические названия Иркутской области. Топонимический словарь» (Иркутск, 2015) зафиксированы Шара-Жалга (левый приток реки Большой Задой; букв. 'желтый берег') и Харагун (название деревни; букв. 'черная глубина'). Но в практике письма чаще встречается дефисное написание.

В Бурятии в разговорной речи название обычно склоняют. Но в нейтральном и книжных стилях такое малоизвестное слово лучше по падежам не изменять. 

Правила меняются не так часто, а изменения охватывают не такое большое число слов, как может показаться. Но изменения неизбежны, ведь язык не стоит на месте, в нем постоянно что-то меняется, а филологи фиксируют новые нормы в словарях и справочниках. Чтобы успевать за изменениями в языке, достаточно просто пользоваться современными словарями и справочными пособиями.

Что касается Тотального диктанта, то его тексты буквально до знака разбирают филологи – члены экспертной комиссии диктанта, которые обращают внимание на все потенциально сложные места и решают, что можно, а что нельзя считать ошибкой, о чем необходимо предупредить пишущих еще до диктанта. Условно говоря, если бы в тексте диктанта встретилось сочетание Вторая мировая война, то о его правильном написании либо рассказали бы пишущим до диктанта, либо не считали бы написание строчными ошибкой.

И еще один важный момент, раз уж зашла речь о Тотальном диктанте. Даже если человек напишет диктант в строгом соответствии с тем, как его учили, это может не спасти его от ошибок, но не потому, что правила изменились, а потому, что его могли чему-то не научить. В школе изучаются не все правила правописания, школа дает базовые, основные сведения по русскому языку (как и по любому другому предмету, ведь, например, в школьном курсе физики тоже не излагаются абсолютно все сведения по физике). Чтобы безупречно владеть языком, нужно продолжать его изучать и после школы. И одна из задач Тотального диктанта, на котором участникам, в отличие от школьных диктантов, предлагают написать не учебные, не адаптированные тексты, – продемонстрировать это, показать, что русский язык сложнее, глубже и интереснее, чем кажется многим после 11 классов, рассказать о правилах правописания, которые человек забыл после школы или о которых просто не упоминали на уроке русского языка.

Вы совершенно точно выделили и охарактеризовали одну из проблемных областей в действующих правилах пунктуации. Действительно, правило вроде бы обязывает не ставить тире, если между подлежащим и сказуемым-существительным стоит любое наречие или, в соответствии с некоторыми справочниками, обстоятельство. Такую строгую, не допускающую отступлений формулировку можно встретить во многих учебных пособиях по пунктуации, а также в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006).

Однако Д. Э. Розенталь, видимо, понимал, что это правило не должно быть жестким, правилом-предписанием, что возможны отступления от него. Т. е. это правило фиксирует лишь тенденцию. Поэтому в наиболее полном своде Дитмар Эльяшевич пишет о предложениях с наречиями как о тех случаях, когда тире обычно не ставится. И Ваши наблюдения это подтверждают.

Классический пример в правиле о непостановке тире перед наречиями – предложения с временнЫм наречием: Сергеев теперь известный художник; Москва теперь порт пяти морей; Кино по-прежнему самый массовый вид искусства. Такие наречия являются не определениями к сказуемому-существительному, а обстоятельствами, которые примыкают к опущенной связке (*Сергеев есть (когда?) теперь известный художник). Вы же выделяете другой тип наречий – со значением меры и степени, которые синтаксически связаны с определением при существительном (Прибыль – более гибкий показатель. Гибкий (в какой мере?) более.) Подобных примеров в справочниках нет. 

А. Б. Шапиро считал, что несогласованный второстепенный член, относящийся к сказуемому-подлежащему своим местоположением указывает на границу между составом подлежащего и составом сказуемого. Именно поэтому перед такой распространенной группой сказуемого тире не нужно. Это рассуждение логично. Оно представляет собой попытку определить функцию тире в подобных предложениях. Но кажется, что этот принцип не работает. Тире в приведенных Вами предложениях с наречиями меры и степени более частотно, чем его отсутствие. По-видимому, необходимо более глубоко исследовать эту область письма и уточнить правила.

До этого считать ошибкой постановку тире перед наречием меры и степени вряд ли правильно и следует принимать оба написания.

Да, названия стен и ворот вымышленного замка или крепости подчиняются правилу о написании топонимов. 

В этих словах -б- – суффикс, -а – окончание. Вот неполный список других слов, образованных с помощью этого суффикса: борьба, ворожба, гульба, дружба, жалоба, косьба, молотьба, мольба, пальба, похвальба, просьба, резьба, служба, стрельба, тяжба, учеба, ходьба.

Разница между словами стилистическая. Слово учение – более книжный вариант, сейчас его редко используют в непринужденной речи. А учеба – стилистически нейтральный, поэтому его используют и в непринужденной речи, и, например, в грамотах.

Таким образом, в грамоте могли бы написать за успехи в учебе, и это также было бы верно.

Ответ, на который Вы ссылаетесь, очень старый, он, к сожалению, устарел. У лингвистов были разные взгляды на склонение слов с односложной основой типа кий, Бия (название реки). Современную орфографическую рекомендацию находим в академическом «Русском орфографическом словаре», ей соответствует и словарная статья академического орфографического ресурса.