Возможны такие варианты:

Удивляют соседи, — с одной стороны, понимающие важность раздельного сбора мусора, а с другой стороны, ничего для этого не делающие.

Удивляют соседи, — с одной стороны, понимающие важность раздельного сбора мусора, а с другой — ничего для этого не делающие.

Радуют соседи, — во-первых, сами понимающие важность раздельного сбора и, во-вторых, агитирующие других разделять мусор.

Он удивил меня, — во-первых, поздоровавшись с собакой, а во-вторых, кивнув головой коту.

Действительно, в данном случае вводная конструкция, указывающая на источник сообщения, включает причастный оборот: по гипотезе, предложенной учеными. Знаки препинания внутри вводных конструкций ставятся на общих основаниях. Если автору или редактору представляется, что использование запятых делает предложение недостаточно ясным по смыслу, вводную конструкцию можно оформить как вставку: Примечательно, что гибель Содома — по гипотезе, предложенной учеными, — может быть связана со взрывом астероида над городом Телль-эль-Хаммам.

Перед тире нужно поставить еще и запятую, закрывающую причастный оборот.

Мы не выполняем домашние задания.

Строго говоря, прилагательное старинный связано с представлениями о старине, а значит, можно согласиться с Вашими доводами. Впрочем, не исключено, что в чьей-то речи выражение старинный фильм может оказаться вполне уместным обозначением очень старого — по меркам киноиндустрии — фильма.

Однородные члены с обобщающими словами могут быть выражены не только существительными. Вот примеры из справочника Д. Э. Розенталя: Отец совершил несколько будничных движений: достал бумажник, порылся в нем, извлек две старые трешницы, получил билеты; Хорь понимал действительность, то есть: обстроился, накопил деньжонку, ладил с барином и с прочими властями; И старичок, и я — мы оба веселились; Везде: над головой, под ногами и рядом с тобой — живет, грохочет, торжествуя свои победы, железо.

Слово следующее употребляется как существительное (является субстантивированным прилагательным) при употреблении в качестве подлежащего или дополнения, например: Итак, из изложения «Русского вестника» явствует следующее: 1) Что заведование делами книгопечатания переходит из министерства народного просвещения в министерство внутренних дел. 2) Что реформа будет приводиться в исполнение не сразу, но постепенно (М. Салтыков-Щедрин); Рано утром с свежей головой вдруг решил следующее: главный признак характера есть, каков он в вражде (Л. Толстой).

В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (М., 2010) указано: форма единственного числа употребляется в значении множественного при указании на то, что одинаковые предметы принадлежат каждому лицу или предмету из целой их группы, напр.: Солдаты стояли с опущенной головой; Ученики писали карандашом. Поэтому корректно: Ветераны склонили голову перед Могилой Неизвестного Солдата  (обратите внимание: в этом сочетании все три слова пишутся с большой буквы).

Не следует смешивать географические названия «официальные» и образные. Правило, которое Вы приводите, касается собственно географических названий: пик Пионеров – это не образное, переносное название горы, а ее действительное, реальное наименование (так она и будет обозначаться на географических картах, в отличие от города Иваново, который, понятно, ни на одной карте не будет обозначен как город невест). Поэтому аналогии между пиком Пионеров и Городом невест быть не может; применительно к образным названиям стран, городов действует другое правило: в таких названиях с прописной буквы пишется первое слово.

Словари ударений, словари географических названий последовательно фиксируют: Тимашёвск. Такая фиксация – не только в современных словарях, но и в изданиях советской эпохи, например в книге А. В. Суперанской «Ударение в собственных именах в современном русском языке» (М., 1966) (здесь дано: Тимашёвская, книга подписана к печати за несколько месяцев до того, как станица Тимашёвская стала городом Тимашёвском), в «Словаре географических названий СССР» (М., 1983). Ничего не изменилось и в наши дни. Норма литературного языка (которую должны соблюдать и работники эфира, в т. ч. регионального телевидения) – Тимашёвск.