Возможны оба варианта. Подробнее см. в словарях.
Верно: социально значимые.
Правильно: Российская империя. Слово империя в исторических названиях государств пишется со строчной буквы.
Если внутри слов, заключенных в кавычки, встречаются другие слова, в свою очередь заключенные в кавычки, рекомендуется (при условии, что для этого есть технические возможности) использовать кавычки разного рисунка: внешние – «елочки», внутренние – „лапки“ (или – в текстах, набранных на компьютере, – "компьютерные кавычки") . Если же такой технической возможности нет, то закрывающие кавычки ставятся только один раз. Кавычки одного рисунка рядом не повторяются.
Предпочтительно: ОАО «ГМК "Норильский никель"», допустимо: ОАО "ГМК "Норильский никель".
Пожалуйста, воспользуйтесь "Проверкой слова" на нашем портале.
Оба варианты возможны.
Нормативно: в Гагре. В ряде источников также в Гаграх.