Это разговорное выражение, поэтому в стилистически нейтральном контексте кавычки будут уместны (для выделения сочетания, принадлежащего другому стилю).

Верно слитное написание: политмассовая работа.

Ударение падает на окончание. Все формы этого слова, за исключением форм именительного и винительного падежа единственного числа, совпадают с формами слова падеж (в грамматике).

Верно написание со строчной буквы: В этом году на севере Сахалина изобилие грибов и ягод. Живем на севере Сахалина. Весна полноправно вступила в свои права на севере Сахалина. Сочетания северный Сахалин и южный Сахалин тоже пишутся со строчной буквы, поскольку не являются официальными названиями административных единиц.

Правильно: южный полюс Луны. Дело в том, что на Земле полюса обрели названия — Южный и Северный. Названия пишутся с заглавной буквы, такое написание устойчиво и закреплено в правилах и словарях. В астрономии земные названия стали употребляться по отношению к другим крупным космическим телам — планетам и спутникам. При обозначении множества однородных объектов названия терминологизировались, что отразилось на их написании. Приведем несколько примеров:

У верхнего края снимка в середине виден кратер Пири диаметром 73 км, внутри которого расположен северный полюс Луны (Путешествие к Луне. Ред.-сост. В. Г. Сурдин. М., 2011).

Приборы аппарата обнаружили неподалеку от южного полюса Марса залежи замороженного CO₂ объемом около 12 тысяч кубических километров (Знание — сила. 2011 // Национальный корпус русского языка).

Спустя 9 минут разгонный блок «Фрегат» со станцией «Луна-25» отделился от третьей ступени ракеты и вышел на околоземную орбиту. Через несколько дней должна произойти мягкая посадка в районе южного полюса Луны (Телеграм-канал Московского планетария. Сообщение от 11.08.2023).

Следует поставить двоеточие.

Заглавная и прописная буква – это одно и то же, это большая буква. Маленькая буква называется строчной.

Правильно со строчной: Статья 10 Закона о песочнице предусматривает, что «каждый ребенок имеет право...» Первое слово в цитате пишется со строчной буквы, если цитата синтаксически связана с авторским текстом и образует придаточное предложение.

Предпочтительно использовать кавычки разного рисунка, но если по техническим причинам это невозможно, то не возбраняется использовать и кавычки одного рисунка (но при этом следует помнить, что кавычки одного рисунка рядом не повторяются: задача «Работа по программе «Восстановление работы ног»).

Верно написание со строчной буквы после двоеточия. Можно использовать точку, тогда дальше должно следовать слово с прописной буквы. 

В данном случае необходимо тире.