В данном случае слово "республика" пишется со строчной буквы. 

Вполне возможно, что на рекомендации словарей самым решительным образом повлиял Василий Родионович Долопчев, автор вышедшего в 1909 году издания, представляющего собой одно из первых в отечественном языкознании собраний «недостатков устной и письменной речи» (именно такой материал представлен в словарях трудностей русского языка). В книге под названием «Опыт словаря неправильностей в русской разговорной речи» формы поезжай и поезжайте определены как правильные, а формы едь, едьте, езжай и езжайте определены как неверные. В предисловии В. Р. Долопчев пишет: «Соображения, по которым слово или выражение признано мною неправильным, и предлагаемые поправки основаны на литературном языке образцовых писателей, теоретических работах Павского, Аксакова, Буслаева, Потебни, Грота и других, словарных трудах Академии наук и Даля, а за образец устной речи взят говор московский». Очевидно, что история с этими формами остается исключительно стилистической, и создателям письменных текстов по-прежнему приходится иметь в виду «формально-стилистическую» коллизию. Обсуждают ли ее лингвисты? Несомненно. Подробный анализ употребления названных форм в современном языке можно найти в статье О. Северской «Сюда я больше... не едок?» (об экспансии императива едь! в разговорной речи последних десятилетий» (опубликована в 2024 году в «Трудах Института русского языка им. В. В. Виноградова»).

Так о чем спорить? Ведь собеседники в итоге поняли, что именно каждый из них имел в виду.

Действительно, в словах отсутствие заявки, поданной в службу технической поддержки подрядчика есть противоречие. Эту часть следует перестроить.

Но есть еще один спорный момент. Точно ли тот факт, что в письме нет реквизитов заявки, значит, что заявку не подали в службу технической поддержки? От этого зависит формулировка всего предложения.

Возможно, фразу следует перестроить так: Письма территориальных подразделений о несоблюдении подрядчиком условий контракта, не содержащие реквизитов заявки в службу технической поддержки подрядчика, управление будет возвращать без рассмотрения и с запросом представить объяснительную записку о причинах, по которым реквизиты заявки отсутствуют.

Числительные, оканчивающиеся на один, обычно требуют формы единственного числа сказуемого. Однако в некоторых случаях возможна и форма множественного числа. Д. Э. Розенталь приводит такие примеры: 

Двадцать один делегат встретились за круглым столом (сказуемое-глагол встретились указывает на взаимное действие, которое выражается формой множественного числа); 

Двадцать один ящик с посудой, которые были доставлены на базу, попали туда по ошибке (влияние придаточного предложения с союзным словом которые в форме множественного числа); 

За все уплачено 231 рубль (при формальной роли подлежащего счетный оборот имеет значение обстоятельства меры в страдательной конструкции); 

Двадцать один студент не явились на экзамен (эмоционально окрашенный разговорный вариант, подчеркивающий количество отсутствовавших).

Поскольку нет указания, что в предложениях дословно передается чей-либо вопрос, оформлять его в кавычках как прямую речь нет оснований. Корректны будут варианты: Программа-максимум — найти корень проблемы и ответить на вопрос: почему аудитории не могут сами разрешить проблемную ситуацию, в которую попали?; Возникает вопрос: какие проблемные ситуации рассматривать в рамках культуры и творчества? Вопрос формулируется так: что нужно сделать для того, чтобы..? Последний из приведенных примеров уместнее оформить как предложение с придаточным изъяснительным, поскольку в нем адресату, обозначенному местоимением вы, скорее предлагается тема для размышления, а не задается вопрос как таковой: Постановка отправного вопроса помогает быстро ответить на вопрос, ради чего вы тратите ресурсы (повторение слова вопрос при этом желательно устранить). 

"Справка" не выполняет домашних заданий.