Возможны оба варианта.
Общелитературная норма обязывает употреблять определение в форме мужского рода: наш влюбленный детектив. Согласование по смыслу возможно в разговорной речи: наша влюбленная детектив Иванова.
Слово заживать используется применительно к ранам, ссадинам или частям тела. Пожелания людям звучат так: выздоравливайте, поправляйтесь или пусть нога скорее заживает.
Предлог вблизи требует употребления форм местоимений с начальным Н. Правильно: в доме и вблизи него.
Оба варианта возможны. См. подробнее в «Письмовнике».
Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Если рассматривать это слово как предложение - нужно ставить точку.
«Справочная служба» не составляет вопросов для учеников.
Кавычки не нужны.
Корректно без запятой.
