Мужская фамилия Быковец может склоняться с выпадением е (Быковца, Быковцу и т. д.) и с сохранением (Быковеца, Быковецу и т. д.). О предпочтительном варианте рекомендуем спросить носителя фамилии. Если это невозможно, лучше использовать второй вариант.

Женская фамилия Быковец не склоняется.

Рекомендуется поставить запятую. В предложении описывается последовательность событий, а не их одновременное протекание, так что обстоятельство обычно понимается как относящееся только к первой части сложносочиненного предложения: Обычно студенты попадали в сложившийся коллектив, и им приходилось подчиниться правилам коллектива, в котором...

1. Если перед подчинительным союзом стоят усилительные частицы, то запятая перед ними ставится: В водоеме вальяжно шевелили плавниками несколько рыбешек, которые не выказали ни малейшего беспокойства, даже когда герой полез в ручей.

2. Запятая нужна.

3. Корректно: Да и вообще, остаться без лошади означало лишиться скорости и маневренности и, как следствие, проиграть во времени.

Падеж прилагательного-определения к существительному в сочетаниях с числительными два, три, четыре зависит от его позиции в словосочетании и от рода существительного. Если определение стоит перед сочетанием числительного с существительным (но не между этими словами), то оно употребляется в форме именительного падежа множественного числа: за последние три месяца (но: за три последних месяца). Варианты возможны в сочетаниях с прилагательными добрый, полный, целый (ждала целых два месяца — целые два месяца). Прилагательное, стоящие между числительным и существительным мужского или среднего рода, выступает в форме родительного падежа множественного числа: два разбитых ящика, три двухэтажных здания. При именах существительных женского рода прилагательные-определения могут употребляться как в форме именительного-винительного, так и в форме родительного падежа множественного числа: три столовые ложки — две оригинальных статьи и т. п. Более употребительна первая форма.
Корректно: Директор обозначил три тезиса, связанных с трудностью этой работы. 

Дело в том, что школьная и академическая грамматика имеют разные "системы координат". Одно из очевидных различий - это как раз нумерация первого и второго склонения. Это несложно; путаницы нет, так как большинство изучает русскую грамматику именно по школьной системе, а не по академическому труду.

Словари фиксируют у прилагательного экстренный два значения: 1) срочный, спешный (экстренный вызов); 2) чрезвычайный, непредвиденный (экстренные расходы). У слова экстремальный отмечается одно значение – "крайний, необычный по трудности, сложности".

Теперь о сочетаемости. Ситуация может быть и экстренной (непредвиденной, чрезвычайной), и экстремальной (крайне трудной, крайне сложной). А вот о медицине правильнее: экстренная медицина, экстренная медицинская помощь (то есть срочная, оперативная).

Таким образом, верны сочетания: медицина экстремальных (и экстренных) ситуаций (в разных значениях); экстренная медицина; экстренная медицинская помощь.

Нужен висячий дефис: фото- и видеотехника.

Правильно: приумножать славу и богатство края.

Правилен первый вариант: фото- и видеоотчеты.