Корректно: вейп. Не в начале корня после согласного буква э пишется лишь в очень немногих словах (рэп, мэр, мэтр, сэр, пэр и некоторых других). Это именно исключения, расширение списка слов с э не соответствовало бы закономерностям русской орфографии.

Что касается второго слова, здесь сложно дать однозначную рекомендацию, т. к. единого правила нет. Одни новые иноязычные заимствования закрепляются в слитном написании, другие – в дефисном. Надо подождать, пока слово освоится языком. Пока можно сказать, что сложные существительные с первой частью, самостоятельно употребляющейся, и второй, самостоятельно не употребляющейся, чаще пишутся слитно, хотя из этого правила есть много исключений. Поэтому предпочтительный вариант: боксмод.

В словарях русского языка у глагола процветать отмечено не только значение 'успешно развиваться, находиться в состоянии подъёма, расцвета' (процветают науки, процветает страна), но и значение 'иметь широкое распространение'. И в этом значении с глаголом процветать могут сочетаться и существительные, обозначающие негативные явления. Поэтому можно сказать процветает терроризм, процветает коррупция. Правда, словари по-разному описывают стилистическую окраску такого значения глагола процветать. В «Большом академическом словаре русского языка» оно дано как нейтральное, а «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова указывает, что такое употребление носит разговорный оттенок, т. е. не должно выходить за пределы разговорной речи.

Употребление корректно. Такая поговорка действительно существует (нам приходилось слышать ее в таком варианте: являются только черти), этим хотят сказать, что использование глагола являться не всегда может быть уместно. Являться в значении 'быть, представлять собой' широко употребительно в канцелярской, деловой, а также в научной речи, поэтому в живой разговорной речи, при непринужденном общении, употребление этого глагола не всегда оправданно, он может придавать словам говорящего ненужную громоздкость, тяжеловесность, официоз (например, приведенное Вами предложение в живой речи лучше звучало бы так: материал... разработан современными учеными). Но не следует воспринимать эту поговорку как категоричный запрет на употребление глагола являться, всячески избегать этого слова тоже неправильно.

Верно: Беловежская Пуща. Противоречия с правилами нет, т. к. мы не можем сказать, что слово пуща употребляется только как родовое наименование, не передавая дополнительных смыслов: все же Беловежская Пуща – это не просто название некоего леса (основное значение слова пуща – обширный густой лес), а наименование природного заповедника, территории, обладающей особым историческим и культурным статусом.

Отметим, что орфографические словари предназначены именно для того, чтобы фиксировать частные орфографические случаи (в отличие от свода правил правописания, описывающего общие закономерности письма), регламентировать написание конкретных слов и словосочетаний. Фиксация в орфографическом словаре означает, что данное написание является нормативным и в дальнейшем обращении к правилам правописания уже нет необходимости.

Слово «теперь» здесь не вполне справедливо: словари пишут о допустимости ударения до́говор (при предпочтительном догово́р) уже много десятилетий. В словаре-справочнике «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова (1959) указано: догово́р и допустимо в разговорной речи до́говор. Что касается нормативной оценки варианта договора́, то она в разных словарях неодинаковая: где-то такое ударение считается допустимым, а где-то ошибочным.

Студентам можно сказать правду: в образцовой литературной речи по-прежнему следует использовать вариант догово́р, догово́ры, при этом ударение до́говор не ошибочно, но гораздо менее желательно.  

Междометия занимают особое положение в системе частей речи. Они не относятся ни к самостоятельным, ни к служебным словам.

Вопрос о частеречной принадлежности звукоподражательных слов по-разному решается лингвистами. Звукоподражания тоже занимают особое место в грамматической системе русского языка, и по некоторым признакам междометия и звукоподражательные слова можно сблизить, но нельзя сказать, что это одна и та же часть речи. Наиболее корректной представляется формулировка, выбранная авторами академической «Русской грамматики» (1980) (ключевые слова выделены нами): «По ряду признаков к междометиям примыкают звукоподражания, представляющие собой условные преднамеренные воспроизведения звучаний, сопровождающих действия, производимые человеком, животным или предметом».

Строго говоря, во второй части, которая представляет собой инфинитивное предложение, никакого типа сказуемого нет. Есть главный член односоставного предложения, выраженный — в данном случае — инфинитивом в сочетании со связкой (в настоящем времени она нулевая, а, скажем, в прошедшем времени обязательно обнаружится: ...а вот кошке к ее гнезду было не подобраться). Сказуемого, которое строилось бы по модели «формальная связка + инфинитив», в двусоставном предложении не бывает. Главный член односоставного предложения может описываться по формуле «главный член в форме такого-то сказуемого», если он действительно отвечает одной из существующих моделей сказуемого (Больного знобит). Здесь же и такого сказать нельзя.

Постановка знаков препинания при обороте с предлогами от... (и) до не кодифицирована справочниками. Можно только дать рекомендации, опираясь на основной принцип русской пунктуации — синтаксический. Элементы однородного ряда и обобщающее их слово находятся в одной и той же форме, чего нельзя сказать об обороте с предлогами от... (и) до и слове, к которому он относится. Именно поэтому ставить двоеточие перед этим оборотом не рекомендуется, но можно поставить тире или запятую. В некоторых случаях возможен также, наряду с указанными, вариант без знака препинания, как во второй части Тотального диктанта — 2016: ...всё вокруг было измазано глиной от пола и до потолка.

1. Запятые не нужны, так как союз или соединяет однородные дополнения источником и факторами, а союз либо — однородные придаточные части с грамматическими основами случаи объединены и преемственность имеется.

2. Запятая нужна, так как части сложносочиненного предложения не имеют объединяющего элемента (общего обстоятельства, придаточной части и т. п.).

3. Обстоятельственные обороты (в том числе с производным предлогом ввиду) в начале предложения не обособляются. Слово скорее здесь составляет часть сопоставительного союза а скорее и не требует выделения запятыми (слово скорее является вводным, если близко по значению к «вернее, лучше сказать» или выражает неуверенность автора в сообщаемом).

Правило гласит:

скак – скок – скач – скоч. Если корень оканчивается на к, то на месте безударного гласного пишется буква а, напр.: скака́ть, прискака́ть, ускака́ть, скакну́ть, скака́лка, скаку́н, на скаку́, скаково́й, хотя под ударением – о, напр.: скок, наско́к, отско́к, поско́к, соско́к (о глаголах на −ивать типа наска́кивать см. § 34, Примечание 2).

Если корень оканчивается на ч, то пишутся: буква а  в формах глагола скака́ть и производных от него глаголов (напр.: скачу́, скачи́, обскачу́, обскачи́, поскачу́, поскачи́), а также в слове скачо́к (проверкой служат формы тех же глаголов – напр., ска́чет, поска́чем, и производные ска́чка, вска́чь); буква о – в приставочных глаголах на −скочить (напр.: вскочи́ть, вскочу́, вскочи́, вы́скочить, вы́скочу, вы́скочи, соскочи́ть, подскочи́ть) и в слове вы́скочка (проверка – формами тех же глаголов, кроме вы́скочить: вско́чит, соско́чат и т. п.).

Ср.: проскачу́ (сто вёрст), проскачи́ (формы глагола проскака́ть, проска́чет) и проскочу́, проскочи́ (формы глагола проскочи́ть, проско́чит); подскачу́, подскачи́ (формы глагола подскака́ть, подска́чет ‘приблизиться вскачь’) и подскочу́, подскочи́ (формы глагола подскочи́ть, подско́чит ‘быстрым движением приблизиться к кому чему-н. или резко подняться’).