Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
Правильно.
Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются; женские – нет.
СО РАН (отделение) обязано.
Склоняется следующим образом: Жан-Клод Ван Дамм, Жан-Клода Ван Дамма и т. д.
Тбилиси – существительное мужского рода.
Возможны оба варианты. Раздельное написание подчеркивает отрицание, слитное — утверждает неясность.
Служебный элемент ван обычно пишется со строчной буквы, написание Людвиг ван Бетховен соответствует правилу. Однако в некоторых личных именах компонент ван может быть написан с прописной буквы (такое орфографическое оформление часто соответствует написанию с прописной в языке-источнике и проверяется в словарном порядке): Ван Гог, Ван Дамм.
Кавычки не нужны: черный пиар (уже есть словарная фиксация этого сочетания – без кавычек).
См. ответ № 239351.
