В таком употреблении слово нет является частицей. В «Большом универсальном словаре русского языка», например, о такой единице говорится: «1.2. Употр. вместо сказуемого с отрицанием, а ткж. вместо словосочетания или целого предложения с отрицанием, когда они противопоставляются предыдущему. □ Аня говорила, что мы успеем, а я – что нет. Интересно, придёт он или нет».
В Вашем случае частица нет равна по значению сказуемому с отрицанием не пошли, восстанавливаемому из первой части сложносочиненного предложения. Перед частицей нужно поставить тире, поскольку части имеют параллельную структуру: Несколько человек пошли на спектакль, а несколько — нет.
Корректно раздельное написание: Посмотрим, на сколько (на какое время) её хватит.
Большой толковый словарь
В предложениях, где подлежащее выражено сочетанием со словом несколько, сказуемое ставится в форме множественного числа, если обозначает активное и раздельное действие, в единственном — если пассивное состояние или совместное действие. В данном случае требуется форма единственного числа: возникло несколько вопросов.
Оба варианта верны, но предпочтительно использование формы ед. ч.
При слове несколько возможна форма как единственного, так и множественного числа.
