Наличие зависимого слова с вами однозначно указывает на то, что деепричастие не попрощавшись не утратило значение глагольности. Кроме того, значение обстоятельств образа действия (утративших значение глагольности) чаще выражают деепричастия на -а, -я (см. примечание к параграфу 72 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина), а не на -ши, как в данном случае.

Оба варианта правильны. В парах более – больше, менее – меньше, ранее – раньше, далее – дальше обе формы находятся в пределах литературной нормы: здесь формы на -ше принадлежат к нейтральному стилю литературного языка, а их парные образования на -ее по сравнению с ними стилистически «приподняты» и относятся к книжному стилю речи. См.: Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Словарь грамматических вариантов русского языка. –3-е изд., стер. М., 2008.

Нам неизвестен словарь, в котором у слова навзничь отмечено значение 'на спину или грудь'. Навзничь означало и означает 'опрокинувшись на спину, вверх лицом' (см. данные разных словарей). Слово с противоположным значением – ничком 'лицом вниз (о лежащем)'. Наречие плашмя толкуется так: 'плоской стороной'. Примеры: Ударить шашкой плашмя. Упасть, лежать плашмя (всем телом, навзничь или ничком). Об истории слов навзничь и ничком можно послушать в передаче портала «Грамота.ру» и радио «Культура» «Игра слов».

Деепричастие устремясь существует, оно не является просторечным или разговорным. Эту форму можно встретить и в художественной литературе, например: Изо всех труб высоко над домами стоят, неподвижно устремясь в зеленое небо и там слегка курчавясь, белые прямые столбы дыма. А. Куприн, Юнкера. Дело в том, что в русском языке некоторые глаголы совершенного вида образуют деепричастия не только от основы прошедшего времени присоединением суффикса -в/-вши/-ши, но и от основы настоящего времени с помощью суффикса -а (-я). Таков и глагол устремиться.

Орфографический словарь

Большой толковый словарь

Русское словесное ударение

Проблема состоит в том, что разные ученые (в том числе и составители словарей) по-разному оценивают степень устойчивости тех или иных сочетаний, поэтому могут либо причислять, либо не причислять их к фразеологизмам. Например, в двухтомном "Фразеологическом словаре современного русского литературного языка" под редакцией А. Н. Тихонова, который понимает фразеологию максимально широко, зафиксированы фразеологизмы иметь за душой (за душой ничего — это, в сущности, его вариант), душа в пятки ушла, радостно на душе. Сочетание с дорогой душой в этом длинном списке не числится, однако в нем есть со всей душой, с открытой душой, с чистой душой, так что отсутствие фразеологизма с дорогой душой можно счесть досадным упущением. Поэтому приходится констатировать, что задание некорректно, так как все приведенные в нем сочетания со словом душа можно считать фразеологически связанными. 

Да, в современном русском языке фамилии на -о в образцовой литературной речи не склоняются (ни мужские, ни женские). Но в разговорной речи и в языке художественной литературы, отражающем устную речь, считается допустимым склонение фамилий украинского происхождения на -ко, -енко по склонению существительных женского рода на -а (как если бы исходная форма кончалась на -ка): пойти к Семашке, в гостях у Устименки. Фамилии такого типа последовательно склонялись в художественной литературе XIX века (у Шевченки; исповедь Наливайки; стихотворение, посвященное Родзянке). В XIX веке склонение фамилий на -ко, -енко по образцу существительных, оканчивающихся на -а, было нормой литературного языка.

Л. П. Калакуцкая пишет: «Склонение фамилий украинского происхождения на -ко, -енко по средне-мужскому роду (стихотворение Шевченка, встретился с Франком) неправильно, нелитературно. Оно является следствием переноса украинского склонения этих фамилий в русский язык».

Верно: достичь договоренности. В большинстве случаев глагол достичь управляет родительным падежом.

ДОСТИЧЬ, -стигну, -стигнешь; достиг, -ла, -ло; св.
1. чего.
Дойти, доехать до какого-л. места, предела. Д. берега, станции, границы. Лодка достигла середины реки. Д. за час назначенного пункта.
2. чего.
Распространяясь, дойти до кого-, чего-л. (о звуках, слухах и т.п.). Слуха достиг рокот прибоя. Молва о случившемся достигла столицы. Сплетни достигли жены.
3. чего.
Дойти до какого-л. уровня, предела в своём развитии, проявлении, в каких-л. изменениях. Д. высшей ступени развития. Мороз достиг сорока градусов. Трава достигла человеческого роста. Развитие современной техники достигло высшего уровня. Его гнев достиг наибольшего накала
(стал очень сильным).
4. чего.
Дожить до определённого возраста. Д. совершеннолетия. Д. глубокой старости. Ребенок не достиг ещё и пяти лет.
5. чего.
Добиться чего-л. своими усилиями, приобрести, получить желаемое. Д. положительного результата. Д. высокого положения. Д. успеха. Д. апогея счастья
(почувствовать себя безмерно счастливым). * Достиг я высшей власти (Пушкин).
6. кого-что. Устар.
Догнать, настичь. Достичь убегающего противника. < Достигать; Достижение (см.).

1. Пишутся через дефис сочетания с частицами -де, -ка, -те, -то, -с, примыкающими к предшествующим словам, напр.: Говорит, он ничего-де не знает. Ответь-ка на вопрос. Чёрт-те что! Уж она-то знает, в чём дело. Знать-то она знает. Ночь-то какая! Где-то он сейчас, как-то ему живётся? Всё да да нет; не скажет да-с / Иль нет-с (П.).

То в составе союзов будь то и как то пишется отдельно от предшествующей части.

2. Пишутся через дефис сочетания с частицей -таки, следующей за словом, к которому она относится:

а) за сказуемым (выраженным не только личной формой глагола, но и другими способами), напр.: Он приехал-таки вовремя; Вопрос решён-таки положительно; Он рад-таки её приезду;

б) за неличной формой глагола (причастием или деепричастием) не в составе сказуемого, напр.: преступник, сумевший-таки скрыться; фильм, показанный-таки по телевидению; он выступил, сказав-таки всё, что хотел;

в) за наречием: довольно-таки, наконец-таки.

Частица таки, пишется раздельно, если предшествует слову, к которому она относится (обычно сказуемому), напр.: Он таки приехал вовремя (таки относится к слову приехал).