Сочетания Алая роза и Белая роза используются как условные наименования противоборствующих сторон, т. е. выступают в роли имен собственных. Ср.: Война Севера и Юга (в США).

Правописание "в политических науках" ничем не отличается от обещепринятого: субрегион Балканы в составе региона Центрально-Восточной Европы, субрегион Аравия в Юго-Западной Азии и т. п.

Корректно: как в политическом, так и в экономическом планЕ , отношениИ; флажки не только белого, но и синего цветА.

Выражение наше всё используется только в среднем роде. Поэтому в первом случае можно написать так: Песня в исполнении «нашего всего» — Аллы Борисовны. Второй пример выглядит некорректным в любом варианте, предложение лучше так не строить.

У нас есть встречные вопросы. Названия районов, которые Вы перечисляете - это официальные наименования? Или это устоявшиеся "народные" самоназвания? Понятно, что "Хлопка" - это именно народное название. Вы планируете использовать именно его?

Прописная буква в любом случае нужна. В случае условных названий нужны и кавычки: "Азия", "Ярмарка", "Черемушки".

Стилистически нейтрально и общеупотребительно написание алло. Написать алё можно, если необходимо (в стилистических целях) точно передать на письме это произношение или если имеется в виду не ответ на телефонный вызов, а фамильярный оклик (алё, я с тобой разговариваю).

В названиях войн с прописной буквы, как правило,  пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Японо-китайская война, Русско-японская война, Англо-бурская война, Первая мировая война, Вторая мировая война, Война за независимость (в США), Война Алой и Белой розы, Война Севера и Юга (в США).

Правило звучит так: дефис применяется при записи конструкций с однородными членами, имеющими общий конечный элемент, если все члены, кроме последнего, представлены только начальными элементами; такой дефис называют «висячим». Например: шарико- и роликоподшипники; лит- и изокружки; кино-, теле- и видеофильмы; не двух-, а трёхэтажный дом; не только англо- и франко-, но и русскоязычные тексты; как водо-, так и газоснабжение; до- или послеперестроечные процессы; либо теле-, либо радиопередача; обер- и унтер-офицеры. Как видно из примеров, употребление висячего дефиса не зависит от слитного или дефисного написания сложных слов.

См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 112.

В настоящее время литературной норме соответствуют оба варианта произношения: до[щ] и до[шть], до[жьжь]и и до[жди], ни один из них нельзя назвать неграмотным. При этом предпочтение сейчас отдается именно варианту до[шть], до[жди] (в том числе в словарях, адресованных работникам эфира), вариант до[щ], до[жьжь]и постепенно выходит из употребления.

Вы правильно пишете: актеры старой школы говорят до[щ], до[жьжь]и – это старомосковское («мхатовское») произношение. Необходимо, впрочем, отметить, что и характерное для петербургского говора произношение до[шть],  до[жди] едва ли можно назвать «новым»: о том, что такое произношение было распространено уже, по крайней мере, в первой половине прошлого века, красноречиво свидетельствует рифма «дожди – груди» в стихотворении Константина Симонова (что интересно: уроженца Петрограда) «Ты помнишь, Алеша, дороги Смоленщины» (1941). Таким образом, варианты произношения конкурировали на протяжении многих десятилетий, но к настоящему времени «орфографическое» произношение слова дождь практически вытеснило старый вариант.