Запятая нужна. Правильнее руководствоваться таким критерием: запятая на стыке союзов ставится, если придаточную часть можно изъять из текста или переставить в другое место сложноподчиненного предложения. Здесь перестановка вполне возможна: Собака сначала всё время бежала впереди охотника, но шаги её, как только она почувствовала дичь, замедлились и стали крадущимися. Собака сначала всё время бежала впереди охотника, но шаги её замедлились и стали крадущимися, как только она почувствовала дичь.

С полными формами причастий отрицание не пишется раздельно в составе конструкций, усиливающих отрицание:

а) со словами вовсе не, отнюдь не, далеко не, ничуть не, нимало не;

б) с отрицательными местоименными словами: нисколько не, никак не, никого не, никому не, никем не, никогда не, никуда не, никакой не, ничего не, ничему не, ничем не и т. п.;

в) с союзом ни… ни.

В этом случае непонятно, что имеется в виду под выражением как отправить приглашение. Если речь идет о способе отправки приглашения, то лучше так и написать: выберите способ отправки приглашения.

Во втором предложении нужно поставить перед союзом и запятую (по общему правилу о сложносочиненных предложениях) либо тире (для подчеркивания значения следствия): Если награда не начислится до 20 сентября, то напишите нам — и мы проверим.

Никаких достоверных свидетельств того, что слово нос в древности имело значение ‘бирка с зарубками’, не существует. Такое употребление не известно ни в древнерусских и старорусских текстах, ни в диалектах. Указанная в вопросе версия о происхождении фразеологизма, скорее всего, ошибочна, хотя и растиражирована. Слово нос в данном выражении, видимо, следует понимать в его первом, анатомическом значении (см. Мокиенко В. М. Зарубить на носу // Русская речь. 1983. № 6. С. 91–96). Если всё же предполагать, что слово нос ‘бирка, дощечка’ существовало, в таком случае его следует сближать с глаголом носить и в акцентологическом отношении сопоставлять со словом воз (носить — нос, возить — воз). Ударение в формах слова воз может служить ориентиром: возы́, возо́в, воза́м, воза́ми, воза́х.

Согласно структурному (синтаксическому) принципу русской пунктуации, запятая перед союзом и не нужна, так как оба сказуемых, умру и рада, относятся к одному подлежащему — я. Вместе с тем семантика этих сказуемых такова, что пишущий, очевидно, чувствует необходимость постановки знака препинания перед и для выражения противопоставления этих двух сказуемых или для неожиданного присоединения второго из них. В этом случае ставится тире: Я умру — и очень рада, что умру.

В действительности оба примера употребления деепричастия не вполне корректны. Дело в том, что обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом, синонимично обстоятельственному придаточному предложению, в Ваших примерах – придаточному с временнЫм значением (с союзом "когда"): Когда он стал демонстративно собирать свои вещи, он обиделся (Что звучит странно, не правда ли?).

Второе же предложение (Он долго учился, в результате став прекрасным специалистом) и вовсе невозможно, нужно сказать: Проучившись долго, он в разультате стал прекрасным специалистом.

Орфографический словарь сообщает: 

экстра... – приставка, пишется слитно, но: э́кстра-кла́сс, э́кстра-по́чта, э́кстра-та́йм, э́кстра-э́нд.

Насколько мы можем судить, исключения связаны с тем, что в этих словах элемент экстра- является не приставкой, а несклоняемым прилагатетельным. См. в том же словаое: э́кстра, неизм. (ча́й э́кстра) и -ы (товар высшего сорта, разг.). Поэтому мы бы рекомендовали писать слова экстра-выгода, экстра-экономия, экстра-цена через дефис. 

В этом предложении указанный оборот является присоединительным, и именно поэтому он отделяется с помощью запятой или тире: Я его большая поклонница, (причём) как человека и как артиста; Я его большая поклонница — как человека и как артиста. Сравним предложение, в котором два оборота с союзом как в значении «в качестве» противопоставлены друг другу, что делает их смысловым центром высказывания: Я его большая поклонница как человека, но не как артиста.

Верно без запятой: Они разговаривали с ним как с хорошо знакомым человеком. В этом случае оборот с союзом как употреблен при сказуемом, требующем конкретизации, имеет значение отождествления или приравнивания, как в примерах: Вот почему она смотрела на землю как на юдоль скорби (Нов.-Пр.); Она воспринимала мать как старшую сестру и т. п. См. параграф 90 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.