Правильны оба варианта: просить помощи и просить о помощи.

Вероятно, автор имел в виду глагол корпеть и хотел написать корпеют – это часто встречающаяся ошибочная форма от корпеть (правильно: корпят).

Просьба —  многострадальное слово. Чего только стоят объявления в крупных магазинах вроде следующего: «Сотрудника отдела бытовой техники просьба подойти на инфостойку».

И в этом примере, и в примере Просьба перестать ломать ограду наблюдается одно и то же явление: существительное просьба используется вместо глагола (просят, просим) — и, что самое главное, существительному безосновательно придаются синтаксические свойства глагола. Так, в примере из гипермаркета форма В. п. сотрудника объясняется только тем, что подразумевается «просят (просим) сотрудника»: просить кого? что? — стандартное управление глагола просить, но не существительного просьба.

И в вашем примере инфинитивная конструкция перестать ломать примыкает к сущ. просьба так же, как примыкает к глаголу: просим перестать.

Следовательно, в основе конструкции, о которой вы спрашиваете, лежит определенно-личное (просим) или неопределенно-личное (просят) предложение, и сущ. просьба в ней является эквивалентом одной из этих глагольных форм. Поэтому корректно интерпретировать его как главный член односоставного предложения — просто главный член, не подлежащее и не сказуемое. Перестать ломать — дополнение (ср. просить, просьба о чем?), которое не квалифицируется ни как прямое, ни как косвенное, так как падежа у него нет.

Что же касается самого предложения, то ни под один из выделяемых в традиционной грамматике типов оно не подводится. Можно считать его разговорной модификацией (не)определенно-личного предложения.

1. По смыслу: брошенный - такой, которого бросили (не бросали). Н. ф. - бросить.

2. Нет.

Союз между тем не выделяется запятыми подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".

По всем примерам, связанным с обособлением деепричастий, см. соответствующую главу "Правил русской орфографии и пунктуации".

Если речь идет о неопределенном количестве денег («хоть сколько-нибудь»), верно с родительным: скинуть/перевести/просить денег. Если подразумевается определенная сумма, о которой условились заранее, то верно с винительным падежом: скинуть/перевести/просить деньги. 

Правильно: скрепя сердце –  против воли, против своих убеждений, мужественно. Скрепя - то же, что скрепив. Оборот,  вероятно, связан с движением хватания себя за сердце при сильном седцебиении от волнения, то есть буквально: "скрепить сердце чем-нибудь" . Скрепить в этом выражении имеет внутреннюю форму "сделать крепким".

В диалектном слове дрочить 'нежить, холить' ударение падает только на окончание: дрочишь, дрочит. Однако в жаргонном дрочить 'заниматься онанизмом', как указывают толковые словари русского жаргона, возможно ударение и на корне, и на окончании: дрочит и дрочит. Возможность постановки ударения на корне подтверждается шутливыми выражениями каждый дрочит, как он хочет и т. п.

Если имеются в виду все имеющиеся апельсины или конкретные плоды, то верно: купили апельсины. Если смысл фразы в том, что купили просто какое-то количество апельсинов, то верно: купили апельсинов.

Это слова имеют разные значения, они не синонимичны.

ПРОЧИТЬ, -чу, -чишь; нсв. кого-что. Разг. Заранее предназначать, предположительно определять. Ей прочат блестящее будущее. Брата с детства прочили в военные. На его место прочат новенького. Её прочат замуж за метрдотеля. Прочиться, -чится; страд.

ПРОРОЧИТЬ, -чу, -чишь; нсв. (св. напророчить). что. Предсказывать, предвещать. Тебе пророчат большое будущее. Говорят, звёздный дождь пророчит счастье.

Этимология у них также различна. Пророчить образовано от пророк (это калька с греческого προφήτης «прорицатель», буквально «говорящий будущее»), а прочить — исконно славянское, сууффиксальное производное от прок «остаток».