Подобные сложные наименования, как правило, остаются несклоняемыми. Только некоторые (наиболее известные) топонимы такого типа подчиняются общему правилу: в пишущихся через дефис иноязычных топонимах склоняется только последний компонент. Вот примеры из «Словаря собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко:

Аньер-сюр-Сен, Аньер-сюр-Сена [сэ] (гор., Франция)

Витри-сюр-Сен [сэ], нескл. (гор., Франция)

Шалон-сюр-Сон, нескл. (гор., Франция)

Камаре-сюр-Мер [рэ, мэ], нескл. (гор., Франция)

Рошфор-сюр-Мер [мэ], нескл. (Рошфор) (гор., Франция)

Трувиль-сюр-Мер, Трувиль-сюр-Мера [мэ] (Трувиль) (гор., Франция)

Конде-сюр-Нуаро [дэ], нескл. (Конде) (гор., Франция)

Общая рекомендация может быть такой: если название малоизвестное и не зафиксированное в словарях, лучше не изменять его по падежам.

Орфографическим нормам соответствует написание Русско-азиатский банк.

Правило таково. В названиях организаций с прописной буквы пишется только первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Оба компонента первого сложного слова пишутся с прописной буквы в двух случаях: 1) если название начинается с географического определения с первым компонентом Северо-, Западно-, Юго-, Восточно-, Центрально- и 2) если название начинается с прилагательного, образованного от географического названия и пишущегося через дефис. (Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 189, примеч. 1.)

Ср.: Российско-американский молодежный оркестр, Северо-Кавказская железная дорога, Санкт-Петербургский государственный университет.   

Да, лор исторически аббревиатура (от ларингооторинология). Но есть случаи, когда аббревиатуры по традиции пишутся строчными, это касается немногих широко употребительных звуковых аббревиатур, которые похожи на «обычные» слова и аббревиатурное прошлое которых давно забылось, ср.: вуз, дот. Такое написание определяется в словарном порядке. Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует: 

лор-… – первая часть сложных слов, пишется через дефис

лор-заболева́ния, -ий, ед. -ние, -я

лор-онколо́гия, -и

лор-о́рганы, -ов

лор-отделе́ние, -я

лор-препара́т, -а

лор-терапи́я, -и

и др.

В русском языке сокращение "с." для обозначения слова "circa" ("около" или "приблизительно") не является общепринятым. Вместо этого обычно используется сокращение "ок." (например, ок. 1910), что означает "около" или "примерно". 2) В случае, когда год точно не известен и есть варианты, как правило, используют дефис для указания диапазона возможных лет. Например, "1909–1910" указывает на то, что события могли произойти в одном из этих двух лет. Также можно использовать формулировку "1909 или 1910", чтобы подчеркнуть неопределенность.

Слитное, раздельное или дефисное написание сложных слов — одна из самых проблемных зон русской орфографии. Авторы разных словарей могут руководствоваться различными подходами и стратегиями, принимая орфографическое решение. Про написание сложных слов с первой частью блиц словари дают разные рекомендации, см., например, «Современный словарь иностранных слов» под редакцией Л. П. Крысина, где есть словарная статья БЛИЦТУРНИР (со слитным написанием), но в качестве примеров сложных слов приведены слова блиц-опрос и блиц-интервью (через дефис). По данным Национального корпуса русского языка слитное и дефисное написание пока конкурируют. Приоритетной для пишущих, конечно, остается рекомендация орфографического словаря.

Действительно, правилом такое написание не регулируется. Дефисное написание конструкций типа "вверх-вниз" связано с тем, что это т. н. соотносительные слова. На сочетания типа "впереди внизу", "вправо вниз" это правило распространить нельзя. Полагаем, раздельное написание будет корректным.

Ответ на вопрос № 291429 дополнен.