Это форма винительного падежа. Известно, что у одушевленных существительных во множественном числе винительный падеж совпадает с родительным. Рассматриваемые конструкции – единственное в русском языке отступление от последовательного выражения одушевленности: у слов – названий лиц в составе фразеологизированных конструкций типа идти в солдаты, взять (кого-либо) в курьеры, пойти в няньки, годиться в отцы винительный падеж совпадает с именительным.
Правильно: в Новом Саде. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской (М., 2008) указывает, что если существительное употреблено в сочетании с прилагательным, то в нейтральном стиле письменной и устной речи выбирается форма на -е, ср.: в Хабаровском крае, в телевизионном мосте, в головном мозге, в длительном отпуске.
Предложение безличное, то есть такое, в котором подлежащее в им. падеже отсутствует и добавить его невозможно, действие происходит само по себе. Форма глагола в безличном предложении совпадает с формой 3-го лица ед. числа, в которой мягкий знак не пишется. Ср.: он (что делает?) приходит в гости, он приходится мне дядей и (мне) приходится видеть.
Если подлежащее имеет в своем составе существительное с собирательным значением (ряд), то сказуемое может стоять как в единственном, так и во множественном числе. На выбор формы влияет ряд факторов. Так, форма множественного числа предпочтительна, если главные члены предложения оторваны друг от друга (как в последнем примере из Вашего вопроса).
В Вашем предложении возможны оба варианта.
Поскольку в России День защитника Отечества — государственный праздник, его написание регламентируется не только словарями, но и официальными документами. В частности, именно такая форма указана в "Справочнике по оформлению нормативных правовых актов в Администрации Президента Российской Федерации".
Вероятно, название праздника, которое официально закреплено на территории Республики Беларусь, немного отличается от российского названия.
Грамматически обе формы возможны.
При наличии в количественно-именном сочетании слова несколько возможна постановка сказуемого как в форме единственного, так и в форме множественного числа. В случае если сказуемое стоит перед подлежащим, чаще используется форма единственного числа: образуется несколько чего-то там.
Подробно об этом можно прочесть в "Справочнике по правописанию и стилистике" Д. Э. Розенталя (раздел "Согласование сказуемого с подлежащим").
Слово секретариат пишется с прописной буквы как первое слово официального названия организационно-руководящего органа международного объединения, например: Секретариат Совета Европы. В значении "отдел учерждения, организации; орган совещания, конференции и т. п." слово секретариат пишется со строчной буквы: секретариат съезда.
От имен Гаврил, Гаврила, Гаврило образуется только одна форма отчества – Гаврилович, Гавриловна. А от имени Гавриил образуются двоякие формы отчеств – Гавриилович, Гаврииловна и Гаврилович, Гавриловна. И формы с И, и формы с ИИ соответствуют нормам русского языка. Имя Гавриил, действительно, входит в список исключений. См.: Суперанская А. В. Словарь русских личных имен. М.: Эксмо, 2004.
В Орфографическом словаре на нашем портале отмечено лишь слово хедер (толкования в некоторых словарях такие: "еврейская начальная школа для обучения мальчиков основам иудаизма" и "от англ. header, жатвенный рабочий орган зерноуборочного комбайна"). Что касается названных Вами слов, то они пока что не получили словарной фиксации, поэтому написание неустоявшееся. Предпочтительно написание через Е: хедер, бекап.
При подлежащем – количественном сочетании со значением приблизительности предпочтительна форма единственного числа сказуемого: Ежегодно на объектах проводится свыше 300 учебно-тренировочных заданий. Однако это не строгое правило, а рекомендация.
Вы можете подробнее прочитать о единственном и множественном числе сказуемого в «Письмовнике».
Обратите также внимание на то, что проводятся обычно занятия, а не задания.
