Постулат «после а, но, однако ставим запятые» неверен: постановка запятых обусловлена не самими этими словами, а синтаксическим строем предложения. Сами по себе союзы а, но и однако (в значении 'но'), стоящие в начале предложения, не требуют постановки после себя запятой. В приведенном Вами предложении запятая после но не нужна. Ср.: Но, подумав еще раз, он понял, что был неправ – запятая после но ставится, но не из-за этого слова, а из-за того, что далее следует деепричастный оборот.

После междометия однако, стоящего в начале предложения и выражающего возмущение, удивление и иные эмоции, запятая ставится: Однако, каков мерзавец!

И ремарки, и так называемая авторская речь — это высказывания автора, сопровождающие прямую речь персонажа, так что имеет смысл говорить только о соотношении ремарок и прямой речи, авторской и прямой речи, но не о соотношении ремарок и авторской речи. В параграфе 158 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина приводится пример авторской ремарки внутри прямой речи: Я не понимаю теперь: кто чужой в этом городе, — мы или они? (Он кивнул на балкон особняка.) Нас не хотят больше слушать (А. Т.).

Слитное, раздельное или дефисное написание сложных слов — одна из самых проблемных зон русской орфографии. Авторы разных словарей могут руководствоваться различными подходами и стратегиями, принимая орфографическое решение. Про написание сложных слов с первой частью блиц словари дают разные рекомендации, см., например, «Современный словарь иностранных слов» под редакцией Л. П. Крысина, где есть словарная статья БЛИЦТУРНИР (со слитным написанием), но в качестве примеров сложных слов приведены слова блиц-опрос и блиц-интервью (через дефис). По данным Национального корпуса русского языка слитное и дефисное написание пока конкурируют. Приоритетной для пишущих, конечно, остается рекомендация орфографического словаря.

Верно:

1. После того как он попросил прощения, всё стало налаживаться.
2. История эта началась после того, как в село приехал новый учитель.

Подробно о пунктуации в конструкциях с составными подчинительными союзами читайте в "Справочнике по пунктуации".

Такая пунктуация корректна. Возможно, следует убрать тире после личного местоимения.

Да, следует поставить двоеточие: Страхование: перспективы развития (без точки в конце заголовка).

В 4-м издании «Русского орфографического словаря» (М., 2012) появилась фиксация слова Паралимпиада (наряду с Параолимпиадой). В предыдущих изданиях словаря – только Параолимпиада, Параолимпийские игры.

4-е издание словаря (М., 2012) является на данный момент последним, в 2013 году новых изданий не было.

Все эти отличительные особенности принадлежат одному человеку - Педро Родригесу, известному сейчас среди футболистов как Педро, однако начинал он свою карьеру под прозвищем Педрито.

Вы написали правильно: Не говори.

Да, верно: в Бабьем Яре. Ответ исправлен. Спасибо за замечание!