Нет. Рождество – только о празднике рождения Иисуса Христа, о празднике рождения Богородицы: Рождество Христово, Рождество Богородицы.

Корректно: Новый год – один из самых волшебных праздников, которого с нетерпением ждут дети. 

Извините за задержку с ответом. Корректно написание День Республики, т. к. второе слово в данном случае заменяет полное официальное название Чувашская Республика.

Такое название праздника тоже является общеупотребительным.

Предложение корректно. Правильно здесь: 23 Февраля (как название праздника).

Спасибо, и Вас с наступающим!

Не пишется слитно с одиночными причастиями: ненаступивший праздник. Раздельное написание правильно, если у причастия есть зависимые слова: еще не наступивший праздник.

В приведенных примерах следует использовать существительные в форме множественного числа.

Имя существительное, которому предшествует два или несколько определений, указывающих на разновидности предметов, ставится в форме единственного числа:

1) если существительное не употребляется в форме множественного числа;

2) если существительное во множественном числе имеет иное значение, чем в единственном;

3) если между определениями стоят противительные, разделительные или сопоставительные союзы;

4) если перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны, например, в сочетаниях терминологического характера;

5) часто, если определения выражены порядковыми числительными или местоименными прилагательными.

Имя существительное ставится в форме множественного числа:

1) если подчеркивается наличие нескольких предметов;

2) если имеется предшествующее определение в форме множественного числа;

3) если определяемое существительное стоит впереди определений.

Подробнее читайте в «Справочнике по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя.

Корректно: Поздравляю с праздником – Днем сотрудника органов внутренних дел!