Все просто: сочетания твердых заднеязычных согласных с Ы (ГЫ, КЫ) в современном русском языке практически не используются. Происходит смягчение.
Лучше: разместить заказ на федеральном государственном предприятии, поскольку оно является единственным поставщиком.
Верно: у меня есть четыре новые (новых) юбки.
Интонационное тире возможно, однако обязательным оно не является.
Верно: несколько близких людей. Но: несколько человек.
Верно: немерено (в знач. "очень много").
Запятая нужна.
Запятая нужна.
Категоричность в случае с именами оправданна в официальных бумагах. Мифологичность представлений об употреблении тех или иных слов опровергают словарные толкования; см. описание значений слов прозвище и кличка в «Большом толковом словаре русского языка» (гл. ред. С. А. Кузнецов).
Приведенное Вами предложение — цитата из письма А. П. Чехова. В изданиях, доступных в интернете, запятая в этом предложении не ставится. См., например, здесь.
