Оба слова употребляются.
Устойчивое сочетание: чуть свет. Оно может употребляться с разными глаголами: встать чуть свет, пойти куда-то чуть свет, позвонить кому-то чуть свет и т. д.
Да, обычно эти слова обособляются (хотя иногда в художественной литературе встречаются и примеры их необособления).
Мужская фамилия Чекуть склоняется (Чекутя, Чекутю и т. д.), женская – нет.
Слово минуть/миновать в повелительном наклонении имеет форму минуй.