Корректные формы родительного падежа фамилий: Алексия, Ткачука, Леончика, Капачени.

Мужские фамилии Габец, Чергинец можно склонять двояким образом: с выпадением гласного (Габца, Чергинца и т. д.) и с сохранением гласного (Габеца, Чергинеца и т. д.). Решение о типе склонения принимает носитель фамилии, но предпочтителен второй вариант (с сохранением гласного), так как в этом случае из косвенных форм легко вывести начальную форму фамилии. 

Фамилия Пурей склоняется, если принадлежит мужчине. Мужские фамилии, которые на письме кончаются буквой й, склоняются как существительные второго склонения мужского рода, т. е. имеют в творительном падеже окончание -ем: Пуреем, Хемингуэем, Гайдаем.   

Если ударение в форме творительного падежа этих фамилий падает на окончание, то правильно: Стрекачом, Ткачом.

Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласную, безразлично — мягкую или твердую, склоняются (энциклопедия Брокгауза, поэзия Мицкевича, словарь написан Далем). Женские фамилии, оканчивающиеся на согласную, не склоняются (к Любови Дмитриевне Блок, воспоминания Надежды Мандельштам).

Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласную, склоняются (паспорт Петра Семенича). Женские фамилии, оканчивающиеся на согласную, не склоняются (к Надежде Семенич).

Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласную, безразлично — мягкую или твердую, склоняются. 

Наоборот: мужские фамилии Мельничук, Романчук склоняются, а женские нет. Фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются, если принадлежат мужчинам, и не склоняются, если принадлежат женщинам.

Да, склоняется. Мужские фамилии, имеющие основы на согласные и нулевое окончание в именительном падеже (на письме они кончаются согласной буквой, ь или й), кроме фамилий на -ых, -их, склоняются как существительные второго склонения мужского рода, т. е. правильно: Безносюка, Безносюку, Безносюком, о Безносюке.

Да, эти мужские фамилии склоняются — как и все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный (кроме фамилий на -ых, -их).