Корректно с тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – анестезиолог-реаниматолог; врач – детский эндокринолог. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник. М., 2006. Параграф 154, п. 1, 2.
Запятая не ставится.
Можно, хотя это выражение и не является устойчивым.
Точное написание можно узнать в уставе организации. Вряд ли возможны марровские (одиночные) кавычки, организационно-правовая форма пишется со строчной буквы, также следует убрать пробел перед закрывающей кавычкой.
Нужно поставить тире (длинную черточку) с пробелами.
Корректно написание через дефис. Ср. с предписаниями академического «Русского орфографического словаря» для сочетаний подобной структуры.
У этих прилагательных разное значение. Готский – от готы (группа древнегерманских племен), например: готский язык (язык готов). Готический – от готика (архитектурный стиль европейского Средневековья, характеризующийся остроконечными сооружениями, стрельчатыми сводами, обилием витражей и скульптурного орнамента), например: готический храм, готическая арка, готический стиль, также: готический шрифт (латинское письмо с угловатыми и заострёнными буквами).
Взрослый билет – корректное для разговорной речи сочетание. У слова взрослый есть значение не только 'достигший зрелого возраста, полной зрелости', но и (в разговорной речи) 'предназначенный для таких людей; касающийся таких людей': взрослый фильм, взрослый билет; взрослые проблемы.
Что касается сочетания детский билет, то оно абсолютно нормально, т. к. основное значение прилагательного детский – относящийся к детям, предназначенный для детей.
Решать организаторам конкурса. А есть другие варианты названия? И в чем суть конкурса?