Постановка/непостановка запятой зависит именно от того, является ли по словам близких общей частью предложения. По словам близких, у него случился инсульт и он не получил необходимой помощи (также по словам близких) — один вариант; По словам близких, у него случился инсульт, и он не получил необходимой помощи (как известно из других источников) — другой вариант. 

Вы совершенно правы. Глагол повлечь употреблен здесь в значении "вызвать что-л. как последствие", в котором он требует зависимой конструкции за собой: Строительство повлекло за собой невиданные расходы: Как бы операция не повлекла за собой ещё более серьёзных осложнений. То есть корректной была бы формулировка такого типа: Действия медсестры могли повлечь за собой... 

Вопрос интересный и сложный. Если Майорка не является в полном смысле этого слова ни брендом, ни сортом, ни способом производства жемчуга, а представляет собой что-то среднее между ними, то трудно определить, какое правило регулировало бы в данном случае написание. В этой ситуации можно опираться на практику употребления.

Судя по письменной практике, в специализированных текстах это название оформляется чаще с прописной без кавычек: жемчуг Майорка (интересно, что так же справочники рекомендуют писать названия сортов растений в специальной литературе — типа малина Мальборо). Представляется, что такой способ оформления вполне уместен.

Глагол «отгородиться» является глаголом совершенного вида. Соответствующий ему глагол несовершенного вида — «отгораживаться». 

Слово и в этом случае является присоединительным союзом (= «и притом»), а сочетание и ни минутой позже — присоединительной конструкцией. Она отделяется запятой или тире: Он являлся всегда в девять и уходил в десять — и ни минутой позже.

Деепричастный оборот нужно обособить независимо от места расположения по отношению к глаголу (здесь на него «претендуют» два глагола — искать и добиваться, но на пунктуацию это не влияет): Он призывает каждого искать свой путь, не останавливаясь ни перед чем, добиваться поставленных целей, двигаясь все выше и выше.

Верно без обособления: Убедившись, что аудитория разделяет его юмор, он наконец решился выступать сам.

Корректно: Только как я его ни убеждал положить находку на место, он меня не послушал.

Такое употребление (бежать кого-чего) характерно для стихотворной речи XVIII–XIX вв., ср. у А. С. Пушкина: Их горделивые дружины / Бежали северных мечей. Современной норме литературного языка это употребление не соотвествует.

Есть несколько способов оформления этой фразы, можно использовать буквенное наращение при порядковом числительном: Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс 1 дана; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс 1-го дана; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс, 1 дан; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс (1 дан). Римские цифры при обозначении данов использовать не принято.