Наиболее подробно вопрос сочетания парного тире, выделяющего вставку, с другими знаками препинания, освещен в примечании 4 к параграфу 26.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. Примеров, аналогичных Вашему, там не приведено. Исходя из того, что «перед первым тире ставится запятая, если этого требует структура первой части основного предложения», а в данном случае структура того не требует (нет оборотов, которые нужно закрыть), можно рекомендовать не ставить запятую в этой позиции.

Полагаем, упомянутое правило здесь применимо и деепричастный оборот обособлять не нужно: глагол провести в значении 'пробыть, прожить какое-л. время где-л. или каким-л. образом' информативно недостаточен. 

Предлог включая и союз в том числе различаются грамматически — принадлежат к разным частям речи; включая, как и любой предлог, требует определенного падежа существительного (включая кого-что-л.), союз в том числе, как и любой союз, такого свойства не имеет. ЧТо касается значения, то в словарях можно найти указание, что предлог включая синонимичен союзу в том числе, а также толкование предлога включая через в том числе. Судя по этим данным, значение у рассматриваемых единиц одно и то же. Особо следует сказать о сочетании в их числе. Это сочетание образует так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен: ...в их числе — JZ; ...в их числе JZ.

Да, это верно. См. пункт 2а параграфа 27 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Предложение не вполне понятно. Так, не ясно, к чему относится слово здравоохранения; сочетание защита собственности по вопросам также выглядит странно. О правильной пунктуации в предложении невозможно говорить, пока не будет прояснен его смысл.

Словарные данные о глаголе поместиться подтверждают Вашу правоту. Впрочем, в Национальном корпусе русского языка находим много примеров сочетания «помещаться куда-л.», причем этот вариант нельзя назвать новым, ещё в XIX веке писали: Особенно долго возился он с письменным столом, который никак не хотел поместиться в назначенный для него простенок... [И. С. Тургенев. Накануне (1859)]; Обыкновенно пустующий в это время года дорогой курьерский поезд наполнился пассажирами (...). Но далеко не все поместились в вагоны. [Вл. А. Гиляровский. Солнечное затмение под Москвой (1887)].

Непростой вопрос. Здесь сразу несколько грамматических трудностей.

Трудность первая: склонять или не склонять спартанцев? В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано: «В вариантах управления с тремястами рублями – с тремястами рублей первый, в котором числительное, в соответствии с правилом, согласуется в падеже с существительным, является нейтральным, второй, в котором сложное числительное двести, триста и т. д. управляет существительным в форме родительного падежа, – разговорно-просторечным». Таким образом, эталонному употерблению соответствуют варианты:

Именительный падеж: бессмертные триста спартанцев
Родительный падеж: бессмертных трехсот спартанцев
Дательный падеж: бессмертным тремстам спартанцам
Творительный падеж: бессмертными тремястами спартанцами
Предложный падеж: о бессмертных трехстах спартанцах

Трудность вторая: винительный падеж у слова триста должен совпадать с родительным (из-за одушевленности спартанцев) или с именительным? Это сложный грамматический вопрос, не имеющий однозначного ответа. Исследователи указывают (см., например, статью И. Л. Микаэлян), что «числительные двести, триста и четыреста теоретически могут использоваться в форме вин = род, хотя в современном языке практически исключительно встречаются несогласованные формы вин = им». Предпочтительно поэтому в винительном падеже: бессмертных триста спартанцев.

Ответ покупателя, которому неизвестны профессиональные обозначения мастеров: верным представляется вариант в форме множественного числа размеры, так как подобная комбинированная запись объединяет три сообщения — о трех разных параметрах предмета. Кстати, в Вашем описании есть подсказка (при указании размеров).

Пунктуация в предложении Сами выбирайте (,) на что вариативна. Общее правило гласит, что если придаточная часть состоит из одного союзного слова, то запятая перед ним не ставится: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте на что. Вместе с тем, как указано в параграфе 33.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя, в условиях контекста возможна постановка запятой и перед одиночным союзным словом, если оно логически выделено: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте, на что. Если местоимение мыслится как произносимое с вопросительной интонацией, перед ним ставится тире: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте — на что? (см. указанный параграф).​​​​​​​

Сочетание по крайней мере в значении «самое меньшее», «минимум», «хотя бы» (как в приведенном примере) не выделяется запятыми. Вместе с тем сочетание по крайней мере за то можно выделить как присоединительную конструкцию, если на слове простить автор хочет поставить логическое ударение: ...мы обязаны его простить, по крайней мере за то, что он был гением.