Тире не нужно.

Корректно: 40-я Московская международная выставка «Образование и карьера».

Точный ответ на Ваш вопрос содержится в академической «Русской грамматике» (см. § 984): «Морф -жды выступает после гласных в наречиях, где основа мотивирующего слова выступает с наращением за счет финали, совпадающей с флексией им. п. числ.: дважды, трижды, четырежды».

Поскольку финаль, совпадающая с флексией (т. е. окончанием) именительного падежа, перед суффиксом — это то, что очень сложно объяснить в рамках школьной программы, любой школьный разбор этого слова по составу обречен быть неточным, и уже не так важно, как будет выделено это а — как часть корня, как отдельный суффикс или как окончание.

Для образования существительных используются суффиксы -анк- (-янк-), -инк-, -онк- (-ёнк-), -унк- (подробнее см. «Русская грамматика», 1980, т. I, раздел «Суффиксальные существительные»). Перечисленные суффиксы используются в разных словообразовательных моделях, выступая в качестве омонимов. Поэтому необходимо уточнить вопрос, дополнив его примерами слов, в которых надо определить значение суффикса.

Можно предположить, что вопрос связан с образованием отглагольных существительных. В некоторых словарях суффикс -нк- выделяется в существительных типа лежанка, делянка, вязанка, запеканка и т. п. В академической грамматике русского языка эти существительные рассматриваются как образованные от усеченных глагольных основ при помощи суффикса -анк- (-янк-), например: лежа-ть → леж-анк-а (см. «Русская грамматика», 1980, т. I, § 231: https://rusgram.narod.ru/208-255.html#231). Такой словообразовательный анализ представляется корректным, поскольку при образовании отглагольных существительных часто происходит усечение глагольной основы, ср.: лежа-ть → леж-ак.

Суффикс -анк- (-янк-) образует отглагольные существительные, которые называют предмет, характеризующийся действием, названным производящим глаголом.

Усечение глагольной основы происходит при образовании отглагольных существительных с помощью других суффиксов с тем же значением, ср.: свисте-ть → свист-ульк-а, треща-ть → трещ-отк-а, блесте-ть → блёст-к-а, игра-ть → игр-ушк-а и др.