Эти слова синонимичны в значении 'заботливо, внимательно, аккуратно,  тактично', ср. возможные варианты: он бережно накрыл ее одеялом и он осторожно накрыл ее одеялом; бережно обращаться со старинной вазой и осторожно обращаться со старинной вазой. Однако слово осторожно имеет также значение 'очень осмотрительно в своих действиях, поступках; сдержанно, слабо, нерезко', например: он осторожно заглянул в окно (нельзя сказать: он бережно заглянул в окно), а кроме того, употребляется как возглас предупреждения, предостережения: осторожно, машина! осторожно, окрашено!

В этом случае деепричастный оборот обозначает дополнительное действие («совершай поездки и при этом не заходи в приложение»), а не имеет значение обстоятельства образа действия, как в примерах типа Это упражнение делают стоя на вытянутых носках (см. примечание 1 к параграфу 20.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). Вариант без деепричастного оборота вполне осмыслен: Добавь карту и совершай поездки. Следовательно, деепричастный оборот здесь обособляется: Добавь карту и совершай поездки, не заходя в приложение.

Правильно:

1. В русском языке слово брус во множественном числе имеет форму брусья: При соединении брусьев между собой гвоздями..., Измеряются и нарезаются брусья нужной длины...

2. Установите подсобранную конструкцию и расклините конструкцию клиньями.

3. Укладывает свое предплечье на один из концов шины и направляет ее по задненаружной поверхности через спину.

4. В зависимости от степени разрушения зданий, сооружений и месторасположения...

5. В первые-шестые сутки; в 1—6-е сутки .

6. Склоняются обе части: кирки-лопаты, киркой-лопатой. 

По некоторым данным, первое слово этого названия имеет значение не "суп", а "лапша". Лапша с мясом — суп фобо. Но так или иначе, тавтологии в языке случаются, бояться их не стоит, особенно если имеешь дело с редким языком (ведь перевод вряд ли будет известен большинству носителей). Написание еще не устоялось, поэтому возможно написание и слитное, и с дефисом. Прописные не нужны, это не имя собственное (ср. салат оливье).

В который — союзное слово, член придаточного предложения. Для того чтобы выяснить, какой это член, нужно подставить на его место то существительное, вместо которого оно употреблено. В который употреблено вместо в лес. Соответственно, в придаточном имеем: я вошел (куда?) в лес (= в который). Перед нами обстоятельство места. Предлог в, естественно, входит в его состав, ведь в + П. п. (в лес, в класс, в город) — это, как и со всеми предлогами, единая предложно-падежная форма имени.

В указанном вопросе речь шла о предложении Сервис больше не доступен. В этом случае мы имеем дело с употреблением наречия больше в отрицательном предложении «для указания на окончательное прекращение какого-л. действия, состояния, пребывания в каком-л. качестве» — см. значение 3.0 в «Большом универсальном словаре русского языка». В отрицательных предложениях, как видно из их названия, выражается подчеркнутое отрицание, а потому прилагательные, использующиеся в них в качестве сказуемого, пишутся раздельно с не.

Словарной кодификации в нормативных орфоэпических словарях это слово пока что не имеет. Для того чтобы установить в целях кодификации место ударения у незнакомого слова, нужно узнать, на какой слог обычно ставят ударение те люди, которые используют это слово. Слово демодекс, очевидно, используют дерматологи и косметологи. Если ориентироваться на видео (в поиске Яндекса), то можно заметить, что профессионалы ставят ударение на второй слог — демо́декс. Такое ударение не противоречит законам современного русского произношения.

Поясняющее сочетание в скобках вполне может стоять в форме именительного падежа. Другое дело, что в приведенной формулировке не хватает информации для непосвященного читателя — не ясно, почему некое поле имеет название и при чем здесь Всесоюзный институт масличных культур. Очевидно, в тексте желательно упомянуть, что поле было опытно-селекционным, затем оно было преобразовано в опытную станцию по масличным культурам, а в 1932 году на базе этой станции был организован Всесоюзный научно-исследовательский институт масличных культур.

Существительное стланик имеет двойную мотивацию: стланик от стланый и стланик от стлать. Прилагательное стланый пишется с одной буквой н, так как образуется от глагола несов. вида. Трудность построения словообразовательной цепочки состоит в том, что прилагательное стланый в современном русском языке практически не употребляется. Однако оно фиксируется в «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1990) и, по-видимому, сохраняется в говорах (см. «Словарь русских народных говоров». Т. 41. СПб., 2007. С. 168).