Такое сочетание, конечно, недопустимо (если только не используется намеренно как языковая игра). Правильно: спросить или задать вопрос.
Тип связи - управление или примыкание - нужно определять по зависимому слову, а не по главному. Если зависимое слово существительное в определенном падеже, то перед нами сочетание со связью управления.
Грамматически сочетание верно. Смысл не вполне ясен без контекста.
Запятую ставить не нужно.
Да, это деепричастие, на это указывает и суффикс, и вопрос, и синтаксическая роль слова в предложении.
Мы бы не стали использовать такое сочетание.
Это правильное сочетание.
Это сочетание можно писать строчными, без кавычек: горячая линия.
Полагаем, следует подобрать другой синоним. Может быть, "ручная сортировка", "упорядочить вручную"?
Сочетание корректно.
