Первый вариант неправилен. Второй вариант возможен, также возможен и вариант написания без прописных букв. По отношению к ведомству Морского министерства Российской империи, полагаем, сейчас приемлемы оба написания. Какой была форма названия в официальных документах, нам установить не удалось, но в публикациях об истории российского флота встречаются и вариант со строчной, и вариант с прописной (неправильные написания тоже попадаются, но на них ориентироваться не стоит). Главное, чтобы в одном тексте использовался какой-то один вариант. 

Оба варианта корректны, однако первый оборот чаще употребляется с местоимением сам/самый: Вначале их забавлял самый принцип кинематографии, их смешил самый факт того, что живые люди движутся на полотне [Е. Петров. Остров мира. Комедия в 4 актах (1947)]; — Кирилл, — в голосе Романа Артуровича мелькнула усталость, — но разве сам факт того, что мы признаём прослушивание, не является свидетельством нашей честности перед партнёрами? [Алексей Иванов (Алексей Маврин). Псоглавцы. Гл. 21-39 (2011)]. 

В значении 'прожить, пробыть где-либо или каким-либо образом' правильно: провести что: как я провел это лето. Это очевидно для любого грамотного носителя русского языка – разумеется, и для создателей фильма «Как я провел этим летом» тоже. Отсюда следует, что в названии фильма (которое, на первый взгляд, содержит явную грамматическую ошибку) «неправильное» управление не случайно – это своего рода загадка, разгадать которую предложено нам, зрителям (по-видимому, после просмотра фильма станет ясно, почему он так называется).

Женская фамилия Кравец не склоняется, мужская склоняется. Возможно два варианта склонения: Кравеца, Кравецу, Кравеца, Кравецем, о Кравеце или Кравца, Кравцу, Кравца, Кравцом, о Кравце. Ввиду того, что фамилии выполняют юридическую функцию, предпочтительно склонять их без выпадения гласного, то есть использовать первый ряд форм. Правила склонения фамилий на согласную можно прочитать в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (пп. 4.1–4.3). Вопрос о действительности документов, в которых фамилия записана в неправильной форме, нужно задать юристам.

Такие выражения не ошибочны. Язык нельзя сводить к формальной логике, к математическим уравнениям и тождествам. Многие слова и обороты, на первый взгляд лишенные смысла, повышают образность и выразительность речи. Ср.: я видел это своими собственными глазами – казалось бы, здесь три лишних слова: чем еще можно видеть, как не глазами, чьими еще глазами можно видеть, как не своими? Но эти слова отнюдь не лишние, если их убрать, то от эмоционального и образного высказывания останется голая передача информации (я видел это).

Словари современного русского литературного языка по-прежнему фиксируют Алма-Ата. Вариант Алматы употребляется в Казахстане. Ситуация аналогична распределению вариантов Таллин – Таллинн: в русском языке сохраняется первый вариант, но в эстонских СМИ, выходящих на русском языке, используется написание Таллинн. Обычно в стремлении сохранить в русском языке традиционные варианты Алма-Ата, Таллин и др. многие хотят увидеть политический подтекст, но его нет. Просто орфография всегда очень консервативна, и в облике многих слов (далеко не только имен собственных) сохраняются следы давно ушедших эпох.

На первый вопрос ответить можно, лишь зная контекст. Форма гостиная может выступать в тексте и как форма прилагательного (им. п., ж. р., ед. ч.), и как форма существительного (им. п., ед. ч.).

Теперь о написании. Две Н в слове гостинный пишется только в том случае, если перед нами - производное от существительного гостиная ("комната для приема гостей"): гостинная мебель, гостинный завсегдатай. В остальных случаях пишем с одной буквой Н: гостиный корпус, гостиный флигель (т. е. предназначенный для гостей).

50-е годы – это годы с 50 до 60 какого-либо столетия, 60-е годы – годы с 60 до 70 какого-либо столетия. Применительно к XX веку 50-е годы – с 1950 по 1960, 60-е годы – с 1960 по 1970.

Дело в том, что первые десять лет какого-либо столетия не называются десятые годы; десятые годы – это годы с 10 по 20 какого-либо столетия. В то же время первые 10 лет жизни человека – это первый десяток, поэтому по достижении 50-летнего возраста говорят: пошел шестой десяток.