Такое употребление прописной буквы правилами не предусмотрено, предлагаем использовать для выделения курсив. Обратите внимание: в середине слова заглавные буквы не пишутся, поэтому верно — Дикаприо. Ср.: Маккартни от ирл. McCartney, англ. Mac Cártaine.

Местоимение сколько склоняется в зависимости от строя предложения. Правильно: до скольких работает магазин (родительный падеж), со скольких работает магазин (родительный падеж), ко скольким (дательный падеж).

Неправильное употребление можно объяснить неграмотностью (часто люди не знают, что это слово в принципе склоняется) или небрежностью говорящего.

Слово интернет имеет в современном русском языке только одно значение, поэтому прописная буква для его выделения не требуется (ср.: телевидение, радио и т. п.). Тогда как прописная буква в слове Сеть подчеркивает, что в данном случае это существительное употребляется в специфически узком значении. 

Видимо, в сознании пишущих возникает аналогия с другим правилом: при слове братья фамилия тоже ставится в форме единственного числа, например: братья Гримм. 

Ваш в Вашем вопросе корректно писать строчными, так как Вы обращаетесь к коллективу "Грамоты" (нескольким лицам). А вот мы, отвечая на вопрос, обращаемся к Вам как к автору вопроса (одному лицу), поэтому пишем Вы, Ваш с прописной. 

Да, считаные в значении 'очень немногие' сейчас пишется с одним н. Это написание было приведено в соответствие общему правилу: в прилагательных не на -ованный (-ёванный, -еванный), образованных от глаголов несовершенного вида, пишется одно н. Раньше это слово приводилось в списке исключений.

Впервые написание считаный было предложено в 1-м издании «Русского орфографического словаря» РАН под ред. В. В. Лопатина (М., 1999). Еще одно слово, выведенное тогда из списка исключений, — деланый. Теперь оно тоже пишется по общему правилу: прилагательное деланый ('неестественный') — с одним н (деланое равнодушие), причастие деланный — с двумя н (деланное много раз предложение).

Изменение написания некоторого количества слов в очередном издании орфографического словаря — вполне обычное дело, но только относительно недавно эта работа стала открытой для общества. Авторы всех выходивших в советские годы исправленных и дополненных изданий «Орфографического словаря русского языка» тоже не обходились без некоторого количества орфографических изменений, но эти изменения (как справедливо отмечал еще в 2000 году тогдашний председатель Орфографической комиссии РАН В. В. Лопатин) никогда не афишировались, на них специально не обращалось внимания. Это привело к тому, что некоторые из решений, принятых еще полвека назад, до сих пор известны не всем пишущим по-русски. Один из самых ярких примеров — многострадальная зарянка: это написание было утверждено еще в 1974 году очередным изданием «Орфографического словаря русского языка», но до сих пор можно встретить словари и пособия, где предлагается запомнить «исключение» зорянка.

Очень жаль, что издательства, выпускающие подобные издания, не сверяются с современными словарями и справочниками. Ведь теперь работа орфографистов стала максимально открытой. Актуальные написания слов по-прежнему фиксирует академический орфографический словарь, такой словарь издается Институтом русского языка им. В. В. Виноградова РАН. Но в Институте созданы и регулярно обновляются электронные орфографические ресурсы: «Академос», «Орфографическое комментирование русского словаря». Обращение к ним помогает следить за ходом орфографической мысли и работой над созданием современного академического свода правил русской орфографии.

Сейчас рекомендуется во всех случаях писать приумножить. См., напр.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

На наш взгляд, формулировка становится более внятной, если принять Ваше предложение и избавиться от тавтологии:

Органы местного самоуправления обязаны:
— определять должностных лиц и (или) органы, уполномоченные осуществлять отдельные государственные функции.

В русском языке женские личные имена, в том числе и корейские, оканчивающиеся на -а или -я, как правило, склоняются, то есть правильный вариант — подойти к Чон Соне.

Если хотите сохранить аутентичность, можно в тексте добавить сноску или пояснение, что имя состоит из двух иероглифов с определённым значением, но с точки зрения русского языка склонение имени оправданно и привычно.

Корректно: 1. А те, кто с таким воодушевлением сунул меня в реку, могут понять: их враг все-таки выжил. 2. Мне не нужно многого. Всего лишь чтобы он был согласен пойти со мной. 3. Только вот, встав у зеркала, я на миг замер. / Только вот встав у зеркала, я на миг замер. (Пунктуация зависит от смысла: от того, к какой глагольной форме (замер или встав) относится сочетание только вот.)