В значении "должностные лица, начальство, администрация" слово власть употребляется только во множественном числе: районные власти; обратиться к властям; по словам властей.

Пединститут пишется через И. Подынститут – правовой термин, например: институт брака и подынститут заключения брака.

Синоним подобрать затруднительно.

Мы по-прежнему руководствуемся полным академическим справочником «Правила русской орфографии и пунктуации» («Эксмо», 2006): с прописной буквы пишутся местоимения Вы, Ваш как форма выражения вежливости при обращении к одному конкретному лицу в письмах, официальных документах и т. п.

Правило о написании Вы с прописной буквы при вежливом обращении к одному лицу не является строго обязательным и применяется по желанию пишущего. Не будет ошибкой написание со строчной.

Специальные правила нумерации страниц для книг, журналов и каталогов нам неизвестны. Попробуйте поискать в отраслевых стандартах.

Инициалы следует разделять пробелом, но на практике это соблюдается только в школьных учебниках по русскому языку и в справочниках по издательскому делу.

Правильно со строчной: Группа советских войск в Германии.

Приложение присоединяется дефисом: прошлое-магнит. Но можно написать через тире, если рассматривать оборот как пояснение: укроемся за прошлым - магнитом.

Указанная запятая нужна для обособления придаточного предложения.

Постановка кавычек зависит от того, что именно перед нами – географическое название (топонимы в кавычки не заключаются) или условное наименование (такие наименования пишутся в кавычках). Насколько можно судить, «Танай» – горнолыжный туристический комплекс, находящийся недалеко от озера Танай; название дано по названию озера. Поэтому: озеро Танай (географическое название, кавычки не нужны), горнолыжный комплекс «Танай», горнолыжный курорт «Танай» (условное наименование заключается в кавычки). Ср.: курорт Карловы Вары (кавычки не ставятся, т. к. перед нами географическое название, Карловы Вары – это город, ставший курортом).