Запятая после слова свойств не нужна.

См. в «Письмовнике».

Да, верно. Впрочем, даже если бы слово наконец было вводным, после него всё равно не ставилась бы запятая: вводное слово в начале обособленного оборота не отделяется от этого оборота знаками препинания. 

В этом предложении прилагательное грубый играет роль определения и не входит в основу. Основа предложения сохраняет ключевую идею сообщения: решение представляет собой нарушение, а тип нарушения (которое может быть незначительным, вопиющим, возмутительным, легким, систематическим и т. д.) обозначен прилагательным в роли определения.

Корректна форма единственного числа.

Дело не в специальных правилах, разработанных для телеграм-каналов или интернет-общения. Местоимение мы и формы 1-го лица множественного числа глагола (покидаем, ожидаем, не паникуем и т. п.) в разговорной речи нередко употребляются в переносном значении: это так называемое «солидарное» мы (вместо ты или вы), которое употребляется для создания эффекта соучастия в действиях собеседника / собеседников. Например, врач обращается к пациенту: «Как мы себя чувствуем?» В таком обращении очевидно сквозит покровительственное отношение.

Запись корректна.

Начнем с основы слова философия. Правильнее всего сказать, что основа философиj, ведь буква я обозначает два звука: [ja], из них только второй является окончанием, а первый принадлежит основе. Но упрощенно можно сказать, что основа в этом слове философи- , а окончание – -я.

Что касается корня, то здесь возможны варианты. Можно выделить два корня, как это сделано в словаре Тихонова: мы хорошо знаем о существовании греческих слов phileo 'люблю' и sophia 'мудрость'. Те же греческие корни в словах филология, филофония; теософия, антропософия. Но можно найти аргументы и в пользу выделения корня философ-: в русском языке это слово не было собрано из двух греческих корней, мы получили его в таком виде из немецкого языка, т. е. в русском языке это слово непроизводно.

Точно объяснить разницу вне контекста сложно, окончательный выбор делает автор текста.

Но, например, такая ситуация. Человеку сначала говорили, что незнакомая девушка красивая, а потом кто-то однажды заметил: "Она скорее привлекательная, а не красивая". И тогда человек переспросит: "Она действительно не красивая?" Здесь отрицается красота, частица не пишется отдельно.

А если человек в магазине выбрал супницу в подарок, и его друг говорит: "Эта супница некрасивая, просто уродливая, лучше ее не покупать и никогда никому не дарить". И тогда человек повернется к стоящей рядом женщине, которая точно разбирается в посуде, и спросит: "Она действительно некрасивая и уродливая?" Здесь утверждается отрицательный признак, прилагательное с не можно заменить синонимом без не, поэтому верно слитное написание.

В целом слитное написание используется чаще.